Question

3．如圖，拋物線關(guān)于y軸對稱，它的頂點在坐標(biāo)原點，點P（2，1），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均在拋物線上．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）若∠APB的平分線垂直于y軸，證明直線AB的斜率為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)出拋物線方程，再代入點P坐標(biāo)，即可求得拋物線方程；
（Ⅱ）若∠APB的平分線垂直于y軸，則有k_AP+k_BP=0，運用直線的斜率公式和點在曲線上滿足拋物線方程，化簡整理，再由AB的斜率公式，計算即可得到定值．

解答 （Ⅰ）解：設(shè)拋物線的方程為x²=2py（p＞0），
由點P（2，1）在拋物線上，
即有2²=2p，解得p=2，
則有拋物線的方程為x²=4y；
（Ⅱ）證明：若∠APB的平分線垂直于y軸，
則有k_AP+k_BP=0，
即$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$=0，
即有$\frac{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-1}{{x}_{1}-1}$+$\frac{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}-1}{{x}_{2}-1}$=0，
化簡得，$\frac{1}{4}$（x₁+2）+$\frac{1}{4}$（x₂+2）=0，
即為x₁+x₂=-4，
則有k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{1}{4}$（x₁+x₂）=-1．

點評 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要待定系數(shù)法求方程的方法，同時考查直線的斜率公式和對稱性的運用，屬于中檔題．