Question

3．如圖，拋物線(xiàn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P（2，1），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均在拋物線(xiàn)上．
（Ⅰ）求拋物線(xiàn)的方程；
（Ⅱ）若∠APB的平分線(xiàn)垂直于y軸，證明直線(xiàn)AB的斜率為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)出拋物線(xiàn)方程，再代入點(diǎn)P坐標(biāo)，即可求得拋物線(xiàn)方程；
（Ⅱ）若∠APB的平分線(xiàn)垂直于y軸，則有k_AP+k_BP=0，運(yùn)用直線(xiàn)的斜率公式和點(diǎn)在曲線(xiàn)上滿(mǎn)足拋物線(xiàn)方程，化簡(jiǎn)整理，再由AB的斜率公式，計(jì)算即可得到定值．

解答 （Ⅰ）解：設(shè)拋物線(xiàn)的方程為x²=2py（p＞0），
由點(diǎn)P（2，1）在拋物線(xiàn)上，
即有2²=2p，解得p=2，
則有拋物線(xiàn)的方程為x²=4y；
（Ⅱ）證明：若∠APB的平分線(xiàn)垂直于y軸，
則有k_AP+k_BP=0，
即$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$=0，
即有$\frac{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-1}{{x}_{1}-1}$+$\frac{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}-1}{{x}_{2}-1}$=0，
化簡(jiǎn)得，$\frac{1}{4}$（x₁+2）+$\frac{1}{4}$（x₂+2）=0，
即為x₁+x₂=-4，
則有k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{1}{4}$（x₁+x₂）=-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線(xiàn)的方程和性質(zhì)，主要待定系數(shù)法求方程的方法，同時(shí)考查直線(xiàn)的斜率公式和對(duì)稱(chēng)性的運(yùn)用，屬于中檔題．