Question

15．已知拋物線C：y²=2px（p＞0），上的點M（1，m）到其焦點F的距離為2，
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若正三角形的一個頂點位于原點，另外兩個頂點在C上，求此正三角形的邊長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出拋物線的準線方程，運用拋物線的定義可得1-（-$\frac{p}{2}$）=2，可得p=2，進而得到拋物線方程；
（Ⅱ）設(shè)正三角形OAB的頂點A，B在拋物線上，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入拋物線方程，由|OA|=|OB|，推得線段AB關(guān)于x軸對稱，因為x軸垂直于AB，且∠AOx=30°，得到x₁，y₁的方程，解得即可得到AB的長．

解答 解：（Ⅰ）拋物線y²=2px（p＞0）的準線方程為x=-$\frac{p}{2}$，
由拋物線的定義可知：|MF|=1-（-$\frac{p}{2}$）=2，解得p=2，
因此，拋物線C的方程為y²=4x；
（Ⅱ）設(shè)正三角形OAB的頂點A，B在拋物線上，
且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁²=4x₁，y₂²=4x₂．
∵|OA|=|OB|，
∴x₁²+y₁²=x₂²+y₂²，即
x₁²-x₂²+4x₁-4x₂=0⇒（x₁-x₂）（x₁+x₂+4）=0．
∵x₁＞0，x₂＞0，∴x₁=x₂，
即|y₁|=|y₂|，即線段AB關(guān)于x軸對稱．
因為x軸垂直于AB，且∠AOx=30°，
不妨取y₁＞0，所以$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
因為x₁=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，所以y₁=4$\sqrt{3}$，
故正三角形的邊長|AB|=2y₁=8$\sqrt{3}$．

點評 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查拋物線的方程和準線方程的運用，同時考查兩點的距離公式和化簡整理的能力，屬于中檔題．