Question

已知曲線C₁：ρcos（θ+

π

4

）=

2

2

；曲線C₂：ρ²=

3

2-cos2θ

．
（1）試判斷曲線C₁與C₂的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）若過(guò)點(diǎn)M（1，0）直線l與曲線C₂交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，求

|MA|•|MB|

|AB|

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）分別把ρcos（θ+

π

4

）=

2

2

和ρ²=

3

2-cos2θ

化為直角坐標(biāo)方程得x-y=1和x²+3y²=3，聯(lián)立方程組，根據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)可判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)直線l存在斜率時(shí)，設(shè)l的方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線l方程與曲線C₂的方程消掉y得x的二次方程，由韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式可表示

|MA|•|MB|

|AB|

為關(guān)于k的函數(shù)，由k²范圍可得

|MA|•|MB|

|AB|

的范圍；當(dāng)直線l不存在斜率時(shí)，易求A、B坐標(biāo)及|MA|、|MB|、|AB|，此時(shí)可求

|MA|•|MB|

|AB|

的值，綜合①②可得答案；

解答：解：（1）由ρcos（θ+

π

4

）=

2

2

，得

2

2

ρ（cosθ-sinθ）=

2

2

，
所以x-y=1，
由ρ²=

3

2-cos2θ

，得ρ²（3-2cos²θ）=3，
所以3（x²+y²）-2x²=3，即x²+3y²=3，
由

x-y=1 x2+3y2=3

得2x²-3x=0，解得x=0或x=

3

2

，
所以曲線C₁與C₂的交點(diǎn)有兩個(gè)；
（2）①當(dāng)直線l存在斜率時(shí)，設(shè)l的方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=k(x-1) x2+3y2=3

得（1+3k²）x²-6k²x+3k²-3=0，
△=36k⁴-4（1+3k²）（3k²-3）＞0，即2k²+1＞0恒成立，
則x1+x2=

6k2

1+3k2

，x1x2=

3k2-3

1+3k2

，
|MA|=

1+k2

|x1-1|，|MB|=

1+k2

|x2-1|，|AB|=

1+k2

|x1-x2|，

|MA|•|MB|

|AB|

=

(1+k2)|x1-1||x2-1|

1+k2 |x1-x2|

=

1+k2 |x1x2-(x1+x2)+1|

|x1-x2|

=

1+k2 | 3k2-3 1+3k2 - 6k2 1+3k2 +1|

( 6k2 1+3k2 )2- 4(3k2-3) 1+3k2

=

6

6

•

k2+1 k2+ 1 2

=

6

6

•

1+ 1 2k2+1

，
又k²≥0，所以

6

6

＜

|MA|•|MB|

|AB|

≤

6

6

•

2

=

3

3

；
②當(dāng)直線l不存在斜率時(shí)，把x=1代入x²+3y²=3得y=±

6

3

，
此時(shí)

|MA|•|MB|

|AB|

=

( 6 3 )2

2 6 3

=

6

6

，
綜合①②得

|MA|•|MB|

|AB|

的取值范圍為[

6

6

，

3

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線、橢圓方程及其位置關(guān)系，考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化及弦長(zhǎng)公式，考查分類討論思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，（2）問(wèn)中要考慮周全，直線l斜率不存在情況易漏．