Question

7．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，PA=PB=PC=6，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，AC∩BD=E．
（Ⅰ）證明：AC⊥面PDB；
（Ⅱ）在圖中作出E點(diǎn)在面PAB的投影F，說(shuō)明作法及其理由，并求三棱錐D-AEF的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出PB⊥面PAC，從而PB⊥AC，進(jìn)而AC⊥PE，由此能證明AC⊥面PDB．
（Ⅱ）在面PAC內(nèi)過(guò)E作EF⊥PA于F，則PC⊥面PAB，從而面PAC⊥面PAB，進(jìn)而EF⊥面PAB，求出D到面PAC的距離等于B到面PAC的距離，由此能求出三棱錐D-AEF的體積．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（Ⅰ）因?yàn)镻B⊥PA，PB⊥PC，PA∩PC=P，所以PB⊥面PAC．（2分）
又因?yàn)锳C?面PAC，所以PB⊥AC．（3分）
因?yàn)镋是AC的中點(diǎn)，PA=PC，
所以AC⊥PE．（4分）
又PE∩PB=P，所以AC⊥面PDB．（5分）
解：（Ⅱ）在面PAC內(nèi)過(guò)E作EF⊥PA于F，則點(diǎn)F為點(diǎn)E在面PAB的投影．（6分）
因?yàn)镻C⊥PA，PC⊥PB，PA∩PB=P，所以PC⊥面PAB．（7分）
又PC?面PAC，所以面PAC⊥面PAB．（8分）
又面PAC∩面PAB=PA，EF⊥PA，所以EF⊥面PAB．（9分）
因E為AC的中點(diǎn)，EF∥CP，
所以F是PA的中點(diǎn)，${S_{△AEF}}=\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$．（10分）
又因?yàn)镋是DB的中點(diǎn)，
所以D到面PAC的距離等于B到面PAC的距離6，（11分）
所以三棱錐D-AEF的體積${V_{D-AEF}}=\frac{1}{3}×\frac{9}{2}×6=9$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．