Question

14．為保障春節(jié)期間的食品安全，某市質(zhì)量監(jiān)督局對超市進(jìn)行食品檢查，如圖所示是某品牌食品中微量元素含量數(shù)據(jù)的莖葉圖，已知該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為11.75，則$\frac{4}{a}+\frac{1}$的最小值為（　　）

• A． 9
• B． $\frac{9}{2}$
• C． 3
• D． $\frac{7}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)平均數(shù)的定義求出a+b=3，再利用基本不等式求出$\frac{4}{a}$+$\frac{1}$的最小值．

解答 解：根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為
$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$×（a+11+13+20+b）=11.75，
∴a+b=3；
∴$\frac{4}{a}$+$\frac{1}$=（$\frac{4}{a}$+$\frac{1}$）•$\frac{a+b}{3}$
=$\frac{4}{3}$+$\frac{4b}{3a}$+$\frac{a}{3b}$+$\frac{1}{3}$
=$\frac{5}{3}$+$\frac{4b}{3a}$+$\frac{a}{3b}$≥$\frac{5}{3}$+2•$\sqrt{\frac{4b}{3a}•\frac{a}{3b}}$
=$\frac{5}{3}$+2×$\frac{2}{3}$
=3，
當(dāng)且僅當(dāng)a=2b，即a=2，b=1時取“=”；
∴$\frac{4}{a}$+$\frac{1}$的最小值為3．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了平均數(shù)的定義與基本不等式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．