Question

如右圖，A、B、C、D為空間四點(diǎn)．在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝.等邊三角形ADB以AB為軸運(yùn)動(dòng)．

(1)當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時(shí)，求CD；

(2)當(dāng)△ADB轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，是否總有AB⊥CD?

證明你的結(jié)論．

 

Answer 1

【答案】

(1)取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)DE，CE，

因?yàn)锳DB是等邊三角形，所以DE⊥AB.

當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時(shí)，

因?yàn)槠矫鍭DB∩平面ABC＝AB，

所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE，

由已知可得DE＝，EC＝1，

在Rt△DEC中，CD＝＝2.

(2)當(dāng)△ADB以AB為軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，總有AB⊥CD.

證明：①當(dāng)D在平面ABC內(nèi)時(shí)，因?yàn)锳C＝BC，AD＝BD，所以C，D都在線段AB的垂直平分線上，即AB⊥CD.

②當(dāng)D不在平面ABC內(nèi)時(shí)，由(1)知AB⊥DE.又因AC＝BC，所以AB⊥CE.

又DE，CE為相交直線，

所以AB⊥平面CDE，由CD⊂平面CDE，得AB⊥CD.

綜上所述，總有AB⊥CD.

【解析】略