【題目】在平面四邊形ACBD(圖①)中,△ABC與△ABD均為直角三角形且有公共斜邊AB,設(shè)AB=2,∠BAD=30°,∠BAC=45°,將△ABC沿AB折起,構(gòu)成如圖②所示的三棱錐C′﹣ABC,且使 .
(Ⅰ)求證:平面C′AB⊥平面DAB;
(Ⅱ)求二面角A﹣C′D﹣B的余弦值.
【答案】解:(Ⅰ)取AB的中點(diǎn)O,連C′O,DO,
在RT△ACB,RT△ADB,AB=2,則C′O=DO=1,又,∴C′O2+DO2=C′D2 , 即C′O⊥OD,
又,AB∩OD=O,AB,OD平面ABD∴C′O⊥平面ABD,
又C′O平面ABC′∴平面C′AB⊥平面DAB
(Ⅱ)以O(shè)為原點(diǎn),AB,OC′所在的直線分別為y,z軸,建立如圖空間直角坐標(biāo)系,
則 ,
∴
設(shè)平面AC′D的法向量為 ,則 ,即 ,
,
令z1=1,則y1=﹣1, ,∴
設(shè)平面BC′D的法向量為 ,則 ,
即 , ,
令z2=1,則y2=1, ,∴
∴ ,
二面角A﹣C′D﹣B的余弦值為
【解析】(Ⅰ)取AB的中點(diǎn)O,連C′O,DO,通過就是證明C′O⊥OD,證明C′O⊥平面ABD,然后證明平面C′AB⊥平面DAB.(Ⅱ)以O(shè)為原點(diǎn),AB,OC′所在的直線分別為y,z軸,建立如圖空間直角坐標(biāo)系,
求出平面AC′D的法向量,平面BC′D的法向量,利用向量的數(shù)量積求解二面角A﹣C′D﹣B的余弦值.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的平面與平面垂直的判定,需要了解一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直才能得出正確答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,A、B、C為⊙O上三點(diǎn),B為 的中點(diǎn),P為AC延長線上一點(diǎn),PQ與⊙O相切于點(diǎn)Q,BQ與AC相交于點(diǎn)D.
(Ⅰ)證明:△DPQ為等腰三角形;
(Ⅱ)若PC=1,AD=PD,求BDQD的值.
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【題目】(本小題滿分14分)已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)證明:當(dāng)時,;
(Ⅲ)確定實(shí)數(shù)的所有可能取值,使得存在,當(dāng)時,恒有.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)在上是減函數(shù),求的最小值;
(3)證明:當(dāng)時,.
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【題目】有甲、乙兩個桔柚(球形水果)種植基地,已知所有采摘的桔柚的直徑都在范圍內(nèi)(單位:毫米,以下同),按規(guī)定直徑在內(nèi)為優(yōu)質(zhì)品,現(xiàn)從甲、乙兩基地所采摘的桔柚中各隨機(jī)抽取500個,測量這些桔柚的直徑,所得數(shù)據(jù)整理如下:
直徑分組 | |||||||
甲基地頻數(shù) | 10 | 30 | 120 | 175 | 125 | 35 | 5 |
乙基地頻數(shù) | 5 | 35 | 115 | 165 | 110 | 60 | 10 |
(1)根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表,并回答是否有以上的把握認(rèn)為“桔柚直徑與所在基地有關(guān)?”
甲基地 | 乙基地 | 合計 | |
優(yōu)質(zhì)品 | _________ | _________ | _________ |
非優(yōu)質(zhì)品 | _________ | _________ | _________ |
合計 | _________ | _________ | _________ |
(2)求優(yōu)質(zhì)品率較高的基地的500個桔柚直徑的樣本平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(3)記甲基地直徑在范圍內(nèi)的五個桔柚分別為、、、、,現(xiàn)從中任取二個,求含桔柚的概率.
附:,.
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在正四棱錐中, 分別是
的中點(diǎn),動點(diǎn)在線段上運(yùn)動時,下列結(jié)論中不恒成立的是( 。
A. 與異面 B. ∥面
C. ⊥ D. ∥
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱的側(cè)面是邊長為的菱形,,且.
(1)求證:;
(2)若,當(dāng)二面角為直二面角時,求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,將一矩形花壇擴(kuò)建成一個更大的矩形花壇,要求點(diǎn)在上,點(diǎn)在上,且對角線過點(diǎn),已知米,米.
(1)要使矩形的面積大于50平方米,則的長應(yīng)在什么范圍?
(2)當(dāng)的長為多少米時,矩形花壇的面積最。坎⑶蟪鲎钚≈.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)從某醫(yī)院中隨機(jī)抽取了七位醫(yī)護(hù)人員的關(guān)愛患者考核分?jǐn)?shù)(患者考核:10分制),用相關(guān)的特征量表示;醫(yī)護(hù)專業(yè)知識考核分?jǐn)?shù)(試卷考試:100分制),用相關(guān)的特征量表示,數(shù)據(jù)如下表:
(Ⅰ)求關(guān)于的線性回歸方程(計算結(jié)果精確到0.01);
(Ⅱ)利用(I)中的線性回歸方程,分析醫(yī)護(hù)專業(yè)考核分?jǐn)?shù)的變化對關(guān)愛患者考核分?jǐn)?shù)的影響,并估計某醫(yī)護(hù)人員的醫(yī)護(hù)專業(yè)知識考核分?jǐn)?shù)為95分時,他的關(guān)愛患者考核分?jǐn)?shù)(精確到0.1);
(Ⅲ)現(xiàn)要從醫(yī)護(hù)專業(yè)知識考核分?jǐn)?shù)95分以下的醫(yī)護(hù)人員中選派2人參加組建的“九寨溝災(zāi)后醫(yī)護(hù)小分隊”培訓(xùn),求這兩人中至少有一人考核分?jǐn)?shù)在90分以下的概率.
附:回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為
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