Question

3．過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)F作一條直線，當(dāng)直線斜率為1時(shí)，直線與雙曲線左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)直線斜率為2時(shí)，直線與雙曲線右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍為（　�。�

• A． （1，$\sqrt{2}$）
• B． （1，$\sqrt{5}$）
• C． （$\sqrt{2}$，2）
• D． （$\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$）

Answer 1

分析 先確定雙曲線的漸近線斜率1＜$\frac{a}$＜2，再根據(jù)$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}$，即可求得雙曲線離心率的取值范圍．

解答 解：由題意可得雙曲線的漸近線斜率1＜$\frac{a}$＜2，
∵e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}$，
∴$\sqrt{2}$＜e＜$\sqrt{5}$，
∴雙曲線離心率的取值范圍為（$\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$）．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的離心率的范圍，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是利用$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}$，屬于中檔題．