12．已知函數(shù)f（x）是定義在實數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù)，且對任意實數(shù)x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），則f[f（$\frac{2015}{2}$）]的值是（　�。�
A．$\frac{2015}{2}$B．1C．0D．2015

分析 對任意實數(shù)x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），令x=-$\frac{1}{2}$可得：$f（\frac{1}{2}）$=0．令x=0，可得f（0）=0．x≠0時，f（x+1）=$\frac{x+1}{x}$f（x）．可得$f（\frac{2013}{2}+1）$=2015$f（\frac{1}{2}）$，即可得出．

解答 解：對任意實數(shù)x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），
∴令x=-$\frac{1}{2}$可得：$-\frac{1}{2}f（\frac{1}{2}）$=$\frac{1}{2}$$f（\frac{1}{2}）$，可得$f（\frac{1}{2}）$=0．
令x=0，則0f（1）=f（0），可得f（0）=0．
∴x≠0時，f（x+1）=$\frac{x+1}{x}$f（x）．
∴$f（\frac{1}{2}+1）$=3$f（\frac{1}{2}）$，$f（\frac{3}{2}+1）$=5$f（\frac{1}{2}）$．
∴$f（\frac{2013}{2}+1）$=2015$f（\frac{1}{2}）$=0．
∴f[f（$\frac{2015}{2}$）]=f（0）=0．
故選：0．

點評 本題考查了函數(shù)的周期性與奇偶性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

2．已知點A（0，-2），B（0，4），動點P（x，y）滿足$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=y2-8．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）設（1）中所求軌跡與直線y=x+2交于C，D兩點，設C（ x1，y1），D（ x2，y2），計算 x1 x2，y1 y2的值；
（3）求證：OC⊥OD（O為坐標原點）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

3．過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點F作一條直線，當直線斜率為1時，直線與雙曲線左、右兩支各有一個交點；當直線斜率為2時，直線與雙曲線右支有兩個不同的交點，則雙曲線離心率的取值范圍為（　�。�
A．（1，$\sqrt{2}$）B．（1，$\sqrt{5}$）C．（$\sqrt{2}$，2）D．（$\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

20．如圖，在底面為菱形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，AB=2，∠ABC=$\frac{π}{3}$．
（1）求證：PB∥平面AEC；
（2）若三棱錐P-AEC的體積為1，求二面角A-PC-B的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1+kx}{{ln（{x+1}）}}$，其中k∈R．
（Ⅰ）當k=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若不等式xf（x）＞x+1對任意x∈（-1，0）∪（0，+∞）成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

17．設f（x）=$\frac{x^2}{{1+{x^2}}}$，則f（$\frac{1}{2016}$）+f（$\frac{1}{2015}$）+…+f（1）+f（2）+…+f（2016）=（　�。�
A．4031B．$\frac{4031}{2}$C．4032D．2016

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

4．設x、y為實數(shù)．且xy=3，求x$\sqrt{\frac{y}{x}}$$+y\sqrt{\frac{x}{y}}$的值±2$\sqrt{3}$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

1．已知函數(shù)f（x）=（x2-ax+1）ex（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）設f（x）=xlnx-x2+$\frac{f（x）}{e^x}$，若a＜$\frac{3}{2}$，求f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值；
（2）定義：若函數(shù)G（x）在區(qū)間[s，t]（s＜t）上的取值范圍為[s，t]，則稱區(qū)間[s，t]為函數(shù)G（x）的“域同區(qū)間”，若a=2，求函數(shù)f （x）在（1，+∞）上所有符合條件的“域同區(qū)間”．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

2．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4，x≥0}\\{x+4，x＜0}\end{array}\right.$．
（1）求f（f（-2））；
（2）畫出函數(shù)的圖象并求出函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，2）上的值域．

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