Question

3．已知在平面直角坐標系xoy中，O為坐標原點，曲線$C：\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosα+sinα\\ y=\sqrt{3}sinα-cosα\end{array}\right.$（α為參數(shù)），在以平面直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同單位長度的極坐標系，直線$l：ρsin（{θ+\frac{π}{6}}）=1$．
（1）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程；
（2）曲線C上恰好存在三個不同的點到直線l的距離相等，分別求出這三個點的極坐標．

Answer 1

分析 （1）消去參數(shù)α，即可得到曲線C的普通方程，利用極坐標與直角坐標互化求出直線l的直角坐標方程；
（2）求出圓的圓心與半徑，求出三個點的坐標，然后求解極坐標．

解答 解：（1）曲線$C：\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosα+sinα\\ y=\sqrt{3}sinα-cosα\end{array}\right.$，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=3co{s}^{2}α+2\sqrt{3}sinαcosα+si{n}^{2}α}\\{{y}^{2}=3si{n}^{2}α-2\sqrt{3}sinαcosα+co{s}^{2}α}\end{array}\right.$，
曲線C的普通方程：x²+y²=4．
直線$l：ρsin（{θ+\frac{π}{6}}）=1$=$\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ+\frac{1}{2}ρcosθ$，
直線l的直角坐標方程：x+$\sqrt{3}$y-2=0．
（2）∵圓C的圓心（0，0）半徑為：2，
，圓心C到直線的距離為1，
∴這三個點在平行直線l₁與 l₂上，如圖：
直線l₁與 l₂與l的距離為1．
l₁：x+$\sqrt{3}y$=0，l₂：x+$\sqrt{3}y$-4=0．
$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\\{x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}}\\{y=-1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}}\\{y=1}\end{array}\right.$，
兩個交點（-$\sqrt{3}$，1），（$\sqrt{3}$，-1）；
$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\\{x+\sqrt{3}y-4=0}\end{array}\right.$，解得（1，$\sqrt{3}$），
這三個點的極坐標分別為：（2，$\frac{11π}{6}$），（2，$\frac{5π}{6}$），（2，$\frac{π}{3}$）

點評 本題考查直線的極坐標方程，圓的參數(shù)方程與普通方程的互化，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計算能力．