Question

14．如圖一，矩形ABCD與ADEF所在平面垂直，將三角形DEF沿FD翻折，使翻折后點E落在BC上（如圖二），設(shè)AB=1，F(xiàn)A=x，AD=y．
（Ⅰ）試求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（Ⅱ）圖二中當E為BC中點時求直線AD與平面FDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知中矩形ABCD與矩形ADEF所在的平面互相垂直，將△DEF沿FD翻折，翻折后的點E恰與BC上的點P重合．設(shè)AB=1，F(xiàn)A=x（x＞1），AD=y，我們利用勾股定理分別求出BP，PC，根據(jù)BC=BP+PC，可以得到 x，y的關(guān)系式；
（Ⅱ）求出A到平面FDE的距離，利用正弦函數(shù)，即可求直線AD與平面FDE所成角的正弦值．

解答 解：（Ⅰ）∵矩形ABCD與矩形ADEF所在的平面互相垂直，
AB=1，F(xiàn)A=x（x＞1），AD=y，
∴FE=FP=AD=BC=y，AB=DC=1，F(xiàn)A=DE=DP=x
在Rt△DCP中，PC=$\sqrt{{x}^{2}-1}$
在Rt△FAP中，AP=$\sqrt{{y}^{2}-{x}^{2}}$
在Rt△ABP中，BP=$\sqrt{{y}^{2}-{x}^{2}-1}$
∵BC=BP+PC=$\sqrt{{y}^{2}-{x}^{2}-1}$+$\sqrt{{x}^{2}-1}$=y
即y=$\frac{{x}^{2}}{\sqrt{{x}^{2}-1}}$；
（Ⅱ）圖二中當E為BC中點時，AD=2，AF=$\sqrt{2}$，EF=$\sqrt{6}$
設(shè)A到平面FDE的距離為h，則由等體積可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{6}h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×\sqrt{2}$，
∴h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
∴直線AD與平面FDE所成角的正弦值=$\frac{h}{AD}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點評 本題考查的知識點是空間兩點之間的距離計算，考查直線與平面所成角的正弦值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．