Question

某廠生產(chǎn)某種電子元件，如果生產(chǎn)出一件正品，可獲利200元，如果生產(chǎn)出一件次品，則損失100元，已知該廠在制造電子元件過程中，次品率p與日產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系是：p=

3x

4x+32

(x∈N*)．
（1）求該廠的日盈利額T（元）用日產(chǎn)量x（件）表示的函數(shù)；
（2）為獲最大盈利，該廠的日產(chǎn)量應(yīng)定為多少？

Answer 1

分析：（1）因?yàn)樵搹S的日產(chǎn)量為x，則其次品數(shù)為px=

3x2

4x+32

，正品數(shù)為(1-p)x=

x2+32x

4x+32

，由此能求出該廠的日盈利額T（元）用日產(chǎn)量x（件）表示的函數(shù)．
（2）由T=

-25x2+1600x

x+8

，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)能求出為獲最大盈利，該廠的日產(chǎn)量．

解答：（本小題滿分13分）
解：（1）因?yàn)樵搹S的日產(chǎn)量為x，
則其次品數(shù)為px=

3x2

4x+32

，正品數(shù)為(1-p)x=

x2+32x

4x+32

，
根據(jù)題意得T=200×

x2+32x

4x+32

-100×

3x2

4x+32

，
化簡(jiǎn)整理得T=

-25x2+1600x

x+8

．
（2）∵T=

-25x2+1600x

x+8

，
∴T′=

(-50x+1600)(x+8)-(-25x2+1600x)

(x+8)2

=-25×

x2+16x-64×8

(x+8)2

=-25×

(x+32)(x-16)

(x+8)2

，
當(dāng)0＜x＜16時(shí)，T'＞0；當(dāng)x＞16時(shí)，T'＜0．
所以x=16時(shí)，T有最大值，即T_max=T（16）=800元．
答：（1）該廠的日盈利額T=

-25x2+1600x

x+8

，x∈N^*；
（2）為獲最大盈利，該廠的日產(chǎn)量應(yīng)定為16件．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)在生產(chǎn)生活中的實(shí)際應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．