Question

7．設(shè)$\overrightarrow{a}$=（-1，1 ），$\overrightarrow$=（ 4，3 ），$\overrightarrow{c}$=（ 5，-2 ），
（1）求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角的余弦值；      
（2）求λ₁和λ₂，使$\overrightarrow{c}$=λ₁$\overrightarrow{a}$+λ₂$\overrightarrow$．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量的數(shù)量積公式求夾角；
（2）利用坐標(biāo)表示$\overrightarrow{c}$=λ₁$\overrightarrow{a}$+λ₂$\overrightarrow$，利用線段相等得到關(guān)于兩個(gè)參數(shù)的方程組解之．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（-1，1），$\overrightarrow$=（4，3）
$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-1×4+1×3=-1，|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow$|=5，…（4分）
∴cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{-1}{5\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$．…（6分）
（2）∵$\overrightarrow{c}$=λ₁$\overrightarrow{a}$+λ₂$\overrightarrow$．
∴（5，-2）=λ₁（-1，1）+λ₂（4，3）=（-λ₁+4λ₂，λ₁+3λ₂） …（8分）
∴$\left\{\begin{array}{l}{-{λ}_{1}+4{λ}_{2}=5}\\{{λ}_{1}+3{λ}_{2}=-2}\end{array}\right.$…．…（10分）
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{λ}_{1}=-\frac{23}{7}}\\{{λ}_{2}=\frac{3}{7}}\end{array}\right.$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示求向量的夾角以及利用向量相等其參數(shù)；屬于經(jīng)常考查題型．