Question

15．已知a＞0，b＞0，2^a，$\sqrt{2}$，2^b成等比數(shù)列，則$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值為4．

Answer 1

分析 由題意和等比數(shù)列可得a+b=1，進(jìn)而可得$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）（a+b）=2+$\frac{a}$+$\frac{a}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵a＞0，b＞0，2^a，$\sqrt{2}$，2^b成等比數(shù)列，
∴（$\sqrt{2}$）²=2^a•2^b=2^a+b，∴a+b=1
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）（a+b）
=2+$\frac{a}$+$\frac{a}$≥2+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{a}}$=4
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{a}$=$\frac{a}$即a=b=$\frac{1}{2}$時(shí)取等號(hào)，
故答案為：4

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式求最值，屬解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬基礎(chǔ)題．