Question

（2010•宿州三模）已知離心率為

2

2

的橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為E，直線EF截圓x²+y²=1所得弦長(zhǎng)為

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)D（-2，0）的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，

AB

=2

AM

．試探究

|MD|

|MA|

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由e=

2

2

，得c=b，直線EF的方程為：x-y=-b，由題意原點(diǎn)O 到直線EF的距離為

2

2

，知b=1，a²=2，由此能求出橢圓C的方程．
（2）若直線l∥x軸，則A、B分別是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，M在原點(diǎn)O處，

|MD|

|MA|

=

2

；若直線l與x軸不平行時(shí)，設(shè)直線l的方程為：x=my-2，設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、M（x₀，y₀），由

x2+2y2=2 x=my-2

得：（m²+2）y²-4my+2=0，由△=（-4m）²-8（m²+2）＞0，知m²＞2，y0=

y1+y2

2

=

2m

m2+1

，由此能推導(dǎo)出

|MD|

|MA|

∈[

2

，+∞)．

解答：解：（1）由e=

2

2

，得c=b，直線EF的方程為：x-y=-b，
由題意原點(diǎn)O 到直線EF的距離為

2

2

，
∴

|b|

2

=

2

2

，
∴b=1，a²=2，
∴橢圓C的方程是：

x2

2

+y2=1．…（4分）
（2）①若直線l∥x軸，則A、B分別是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，M在原點(diǎn)O處，
∴|

MD

|=2，|

MA

|=

2

，
∴

|MD|

|MA|

=

2

．…（6分）
②若直線l與x軸不平行時(shí)，
設(shè)直線l的方程為：x=my-2，
并設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、M（x₀，y₀），
則

x2+2y2=2 x=my-2

，
得：（m²+2）y²-4my+2=0，（*）                          …（8分）
∵△=（-4m）²-8（m²+2）＞0，
∴m²＞2，
由（*）式得y0=

y1+y2

2

=

2m

m2+1

，
∴

|MD|

|MA|

=

|y0-yD|

|y0-y1|

=

|y0-yD|

1 2 |y1-y2|

=

2|m| m2+2

2 m2-2 m2+2

=

2 |m|

m2-2

=

2

1- 2 m2

，
∵m²＞2，
∴

1- 2 m2

∈(0，1)，
∴

|MD|

|MA|

∈(

2

，+∞)
綜上，

|MD|

|MA|

∈[

2

，+∞)．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和橢圓的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易錯(cuò)點(diǎn)是探究

|MD|

|MA|

的取值范圍時(shí)因能力欠缺導(dǎo)致出錯(cuò)，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意提高解題能力．