如圖，三棱錐P－ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝AC＝2，AB＝BC，D是PB上一點(diǎn)，且CD⊥平面PAB．

(Ⅰ)求證：AB⊥平面PCB；

(Ⅱ)求異面直線AP與BC所成角的大小；

(Ⅲ)求二面角C－PA－B的大小．

答案：
解析：

　　解法一：(Ⅰ)∵PC平面ABC，平面ABC，∴PCAB．

　　∵CD平面PAB，平面PAB，∴CDAB．

　　又，∴AB平面PCB．

　　(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC，且AF＝BC，連結(jié)PF，CF．則為異面直線PA與BC所成的角．

　　由(Ⅰ)可得AB⊥BC，∴CFAF．由三垂線定理，得PFAF．則AF＝CF＝，PF＝，

　　在中，tan∠PAF＝＝，即∠PAF＝．

　　∴異面直線PA與BC所成的角為．

　　(Ⅲ)取AP的中點(diǎn)E，連結(jié)CE、DE．

　　∵PC＝AC＝2，∴CEPA，CE＝．

　　∵CD平面PAB，由三垂線定理的逆定理，得DEPA．

　　∴為二面角C－PA－B的平面角．

　　由(Ⅰ)AB平面PCB，又∵AB＝BC，AC＝2，∴BC＝．

　　在中，PB＝，．

　　在中，．

　　∴二面角C－PA－B的大小為．

　　解法二：(Ⅰ)同解法一．

　　(Ⅱ)由(Ⅰ)AB平面PCB，∵PC＝AC＝2，又∵AB＝BC，可求得BC＝．

　　以B為原點(diǎn)，如圖建立坐標(biāo)系．則，，，．

　　＝(，－，2)，＝(，0，0)．

　　∴＝＝．

　　∴異面直線AP與BC所成的角為．

　　(Ⅲ)設(shè)平面PAB的法向量為＝(x，y，z)．

　　＝(0，－，0)，＝(，－，2)，

　　則，即，令z＝－1，得．

　　設(shè)平面PAC的法向量為＝()．＝(0，0，－2)，＝(，－，0)，

　　則，即，令＝1，得＝(1，1，0)．

　　＝，即二面角C－PA－B的大小為arcos．


練習(xí)冊(cè)系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖，三棱錐P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC，PA=AC=2，AB=1，M為PC的中點(diǎn)．
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（3）求二面角C-PB-A的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

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（Ⅰ）求證：PC⊥平面BDE；
（Ⅱ）若點(diǎn)Q是線段PA上任一點(diǎn)，求證：BD⊥DQ；
（Ⅲ）求線段PA上點(diǎn)Q的位置，使得PC∥平面BDQ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•鐵嶺模擬）如圖，三棱錐P-ABC中，PB⊥底面ABC，PB=BC=CA=4，E為PC的中點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PA上，且AF=2FP．
（1）求證：BE⊥平面PAC；
（2）求證：CM∥平面BEF；
（3）求三棱錐F-ABE的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC是等邊三角形，E是BC中點(diǎn)，若PA=AB，則異面直線PE與AB所成角的余弦值（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，∠BAC=30°，BC=5，且PA=PB=PC=AC．則點(diǎn)P到平面ABC的距離是
5
3
5
3
．

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