Question

如圖，三棱錐P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC，PA=AC=2，AB=1，M為PC的中點．
（1）求證：平面PCB⊥平面MAB；
（2）求點A到平面PBC的距離
（3）求二面角C-PB-A的正切值．

Answer 1

分析：法一：（1）證明平面PCB內(nèi)的直線PC，垂直平面MAB內(nèi)的兩條相交直線MA，AB即可證明PC⊥平面MAB，就證明了平面PCB⊥平面MAB；
（2）在平面MAB中作AE⊥MB，垂足是E，說明AE長為點A到平面PBC的距離，解直角三角形ABM，求點A到平面PBC的距離．
（3）在平面PAB中作AF⊥PB，垂足是F，連接CF，說明∠AFC是二面角C-PB-A的平面角，解三角形AFC求二面角C-PB-A的正切值．
法二：（2）建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，求出平面PBC的法向量為

n

=（x，y，z），利用d=

| AB • n |

| n |

求出距離．
（3）平面PAB的法向量為

AC

=(2，0，0)，平面PBC的法向量為

n

，求出cosθ=

| AC • n |

| AC •|| n |

即可．

解答：證明：方法一：（1）∵PA⊥AB，AB⊥AC
∴AB⊥平面PAC，故AB⊥PC
∵PA=AC=2，M為PC的中點
∴MA⊥PC（2分）
∴PC⊥平面MAB
又PC?平面PCB，所以平面PCB⊥平面MAB（4分）
（2）如圖，在平面MAB中作AE⊥MB，垂足是E
∵平面PCB⊥平面MAB，∴AE⊥平面PBC∴AE長為點A到平面PBC的距離
又∵AB⊥平面PAC，∴AB⊥AM
在直角三角形ABM中，AB=1，AM=

2

，MB=

3

（6分）
∴AE•MB=AB•AM，∴AE=

6

3

即為所求（9分）
（3）在平面PAB中作AF⊥PB，垂足是F，連接CF
∵PA⊥AC，AB⊥AC，∴AC⊥平面PAB
∴AC⊥AF∴AF是CF在平面PAB內(nèi)的射影，∴CF⊥PB
∴∠AFC是二面角C-PB-A的平面角，（11分）
在直角三角形PAB中，PA=2，AB=1，PB=

5

，可得AF=

2 5

5

∴在直角三角形AFC中，tan∠AFC=

AC

AF

=

2

2 5 5

=

5

即為所求（14分）
方法二：（1）同方法一（4分）
（2）以A為原點，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系
由已知可得各點坐標(biāo)為A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），P（0，0，2），M（1，0，1）（5分）
設(shè)平面PBC的法向量為

n

=（x，y，z），且

PB

=(0，1，-2)，

PC

=(2，0，-2)
∴n•

PB

=y-2z=0，n•

PC

=2x-2z=0
∴x=z，y=2z，令z=1，可得x=1，y=2
∴n=（1，2，1），又

AB

=(0，1，0)，
∴點A到平面PBC的距離d=

| AB • n |

| n |

=

2

6

=

6

3

（9分）
（3）∵PA⊥AC，AB⊥AC，∴AC⊥平面PAB
∴平面PAB的法向量為

AC

=(2，0，0)，設(shè)二面角C-PB-A的大小為θ
∴cosθ=

| AC • n |

| AC •|| n |

=

2

2• 6

=

6

6

，故tanθ=

5

即為所求（14分）

點評：本題考查平面與平面垂直的判定，二面角及其度量，點、線、面間的距離計算，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．