Question

某校高二年級共有學(xué)生1000名，其中走讀生250名，住宿生750名，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從該年級抽取n名同學(xué)進(jìn)行問卷調(diào)查．根據(jù)問卷取得了這n名同學(xué)每天晚上有效學(xué)習(xí)時間（單位：min）的數(shù)據(jù)，按照以下區(qū)間分為八組①[0，30），②[30，60），③[60，90），④[90，120），⑤[120，150），⑥[150，180），⑦[180，210），⑧[210，240]，得到頻率分布直方圖如圖．已知抽取的學(xué)生中每天晚上有效學(xué)習(xí)時間少于60min的人數(shù)為5人．
（1）求n的值，并完成[90，120）內(nèi)頻率分布直方圖；
（2）如果把“學(xué)生晚上有效學(xué)習(xí)時間達(dá)到兩小時”作為是否充分利用時間的標(biāo)準(zhǔn)，對抽取的n名學(xué)生，完成下列2×2列聯(lián)表：

	利用時間充分	利用時間不充分	總計(jì)
住宿生	50
走讀生
總計(jì)

問是否有97.5%的把握認(rèn)為學(xué)生利用時間是否充分與走讀、住宿有關(guān)？
參考公式：K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考列表：

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.025	0.010
k0	2.706	3.841	5.024	6.635

Answer 1

考點(diǎn)：獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）設(shè)第i組的頻率為P_i（i=1，2，…，8），則由圖能夠求出n的值并能補(bǔ)全頻率分布直方圖．
（2）利用題設(shè)條件，先求出2×2列聯(lián)表，再求出K²，并把K²與5.024進(jìn)行比較，從而得到有97.5%的把握認(rèn)為學(xué)生利用時間是否充分與走讀、住宿有關(guān)．

解答： 解：（1）設(shè)第i組的頻率為P_i（i=1，2，…，8），
則由圖可知：P₁=

1

3000

×30=

1

100

，P₂=

1

750

×30=

4

100

，
∴學(xué)習(xí)時間少于60鐘的頻率為：P₁+P₂=

5

100

，
由題n×

5

100

=5∴n=100，…（2分）
又P₃=

1

300

×30=0.1，P₅=

1

100

×30=0.3，
P₆=

1

200

×30=0.15，P₇=

1

300

×30=0.1，
P₈=

1

600

×30=0.05，
∴P₄=1-（P₁+P₂+P₃+P₅+P₆+P₇+P₈）
=0.25，
第④組的高度h=0.25×

1

30

=

1

120

．
頻率分布直方圖如圖；
（2）K²=

100×(50×15-25×10)2

75×25×40×60

≈5.556
由于K²＞5.024，
∴有97.5%的把握認(rèn)為學(xué)生利用時間是否充分與走讀、住宿有關(guān)．

點(diǎn)評：本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意頻率分布直方圖和概率知識的靈活運(yùn)用．