Question

設(shè)有編號為1，2，3，4，5的五個(gè)球和編號為1，2，3，4，5的五個(gè)盒子，現(xiàn)將這五個(gè)球放入五個(gè)盒子內(nèi)．
（1）只有一個(gè)盒子空著，共有多少種投放方法？
（2）沒有一個(gè)盒子空著，但球的編號與盒子編號不全相同，有多少種投放方法？

Answer 1

分析：（1）首先選定兩個(gè)不同的球，看作一個(gè)球，選法有C₅²種，再從5個(gè)盒子中選出4個(gè)盒子放入這4個(gè)球，有

A

4 5

種投放方法，由此根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求得結(jié)果．
（2）沒有一個(gè)盒子空著，相當(dāng)于5個(gè)元素排列在5個(gè)位置上，有A₅⁵種，而球的編號與盒子編號 全相同只有1種，減去即可．

解答：解：（1）首先選定兩個(gè)不同的球，看作一個(gè)球，這樣，5個(gè)球變成了4個(gè)球，選法共有C₅²=10種，
再從5個(gè)盒子中選出4個(gè)盒子放入這4個(gè)球，有

A

4 5

=120種投放方法．
∴共計(jì)有 10×120=1200 滿足條件的方法．  
（2）沒有一個(gè)盒子空著，相當(dāng)于5個(gè)元素排列在5個(gè)位置上，有A₅⁵種，而球的編號與盒子編號全相同只有1種，
所以沒有一個(gè)盒子空著，但球的編號與盒子編號不全相同的投法有  A₅⁵-1=119種．

點(diǎn)評：本題主要考查排列、組合問題，解題的關(guān)鍵是把兩個(gè)球先看成一個(gè)球，注意用間接法求解，屬于中檔題．