如圖，正△ABC的邊長為3，過其中心G作BC邊的平行線，分別交AB、AC于B1、C1.將△AB1C1沿B1C1折起到△A1B1C1的位置，使點(diǎn)A1在平面BB1C1C上的射影恰是線段BC的中點(diǎn)M,求：?

(1)二面角A1-B1C-1M的大�。�?

(2)異面直線A1B1與CC1所成角的大小(用反三角函數(shù)表示).

解析：(1)連結(jié)AM、A1G，?

∵G是正三角形ABC的中心，且M為BC的中點(diǎn)，?

∴A、G、M三點(diǎn)共線，AM⊥BC.?

∵B1C1∥BC,∴B1C1⊥AM于G，?

即GM⊥B1C1，GA1⊥B1C1.?

∴∠A1GM是二面角A1-B1C1-M的平面角.?

∵點(diǎn)A1在平面BB1C1C上的射影為M，?

∴A1M⊥MG,∠A1MG=90°.?

在Rt△A1GM中，由A1G=AG=2GM，得∠A1GM=60°，即二面角A1-B1C1-M的大小是60°.?

(2)過B1作C1C的平行線交BC于P，則∠A1B1P等于異面直線A1B1與CC1所成的角.?

由PB1C1C是平行四邊形得B1P=C1C=1=BP，PM=BM-BP=,A1B1=AB1=2.?

∵A1M⊥面BB1C1C于M，?

∴A1M⊥BC,∠A1MP=90°.?

在Rt△A1GM中，A1M=A1G·sin60°=.?

在Rt△A1MP中，A1P2=A1M2+PM2=.?

在△A1B1P中，由余弦定理得?

cos∠A1B1P=,?

∴異面直線A1B1與CC1所成角的大小為arccos.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)（選做題）（幾何證明選講）如圖，正△ABC的邊長為2，點(diǎn)M，N分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，直線MN與△ABC的外接圓的交點(diǎn)為P、Q，則線段PM=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•株洲模擬）如圖，正△ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC和BC邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．

（1）試判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）求二面角E-DF-C的余弦值；
（3）在線段BC上是否存在一點(diǎn)P，使AP⊥DE？如果存在，求出
BPBC
的值；如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，正△ABC的邊長為15，
AP
=
1
3
AB
+
2
5
AC
，
BQ
=
1
5
AB
+
2
5
AC
．
（1）求證：四邊形APQB為梯形；
（2）求梯形APQB的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，正△ABC的邊長為2a，CD是AB邊上的高，E、F分別是AD和BC邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．
（1）試判斷翻折后直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說明理由； 
（2）求異面直線AB與DE所成角的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年河北衡水中學(xué)高三上學(xué)期第五次調(diào)研考試文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，正△ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC和BC邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．

（1）試判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）求棱錐E-DFC的體積；

（3）在線段BC上是否存在一點(diǎn)P，使AP⊥DE？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由.

 

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