Question

2．已知z是復數(shù)，$z（1+2i）\;、\;\;\frac{z+i}{2-i}$均為實數(shù)，
（1）求復數(shù)z
（2）若復數(shù)（z+ai）²在復平面上對應的點在第一象限，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設z=x+yi（x，y∈R），利用復數(shù)的運算法則、復數(shù)相等即可得出；
（2）利用復數(shù)的運算法則、幾何意義即可得出．

解答 解：（1）設z=x+yi（x，y∈R），
則z（1+2i）=（x+yi）（1+2i）=x-2y+（2x+y）i∈R，則2x+y=0，①$\frac{z+i}{2-i}=\frac{[x+（y+1）i]（2+i）}{5}=\frac{2x-y-1+（x+2y+2）i}{5}∈R$，
則x+2y+2=0，②
由①②解得：$x=\frac{2}{3}，y=-\frac{4}{3}$，
∴$z=\frac{2}{3}-\frac{4}{3}i$．
（2）${（\;z+a\;i\;）^2}={[\frac{2}{3}+（a-\frac{4}{3}）i]^2}=-{a^2}+\frac{8}{3}a-\frac{4}{3}+\frac{4}{3}（a-\frac{4}{3}）i$，
在復平面上對應的點在第一象限，當且僅當：$\left\{\begin{array}{l}-{a^2}+\frac{8}{3}a-\frac{4}{3}＞0\\ a-\frac{4}{3}＞0\end{array}\right.$，
解得：$\frac{4}{3}＜a＜2$．
∴實數(shù)a的取值范圍是$（\frac{4}{3}，2）$．

點評 本題考查了復數(shù)的運算法則、復數(shù)相等、幾何意義，考查了計算能力，屬于中檔題．