Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的定義域；

（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；

（3）若函數(shù)，求函數(shù)的零點.

Answer 1

【答案】(1) (2) 為奇函數(shù)（3）

【解析】試題分析：（1）要使函數(shù)有意義， 必須滿足，從而得到定義域；（2）利用奇偶性定義判斷奇偶性；（3）函數(shù)的零點即方程的根.即的根，又為奇函數(shù)，所以.易證： 在定義域上為增函數(shù)，∴由得，從而解得函數(shù)的零點.

試題解析：

（1）要使函數(shù)有意義， 必須滿足，∴，

因此， 的定義域為.

（2）函數(shù)為奇函數(shù).

∵的定義域為，對內(nèi)的任意有：

，

所以， 為奇函數(shù).

（3）函數(shù)的零點即方程的根.即的根，

又為奇函數(shù)，所以.

任取，且，

∵，∴，∴

∵且，∴ ，

∴，∴，

∴，即，∴在定義域上為增函數(shù)，

∴由得解得或，

驗證當(dāng)時， 不符合題意，當(dāng)時，符合題意，

所以函數(shù)的零點為.