Question

10．求證：關于x的方程ax²+2x+1=0至少有一個負根的充要條件是a≤1．

Answer 1

分析 通過討論a的范圍結合二次函數的性質分別證明其充分性和必要性即可．

解答 證明：充分性：當a=0時，2x+1=0，其根為x=-$\frac{1}{2}$，方程有一個負根，符合題意，
當a＜0時，△=4-4a＞0，方程ax²+2x+1=0有2個不相等的實數根，且兩根之積為$\frac{1}{a}$＜0，
方程兩根一正一負，符合題意，
當0＜a≤1時，△=4-4a≥0，方程ax²+2x+1=0有實數根且$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{a}＜0}\\{\frac{1}{a}＞0}\end{array}\right.$，
故方程兩根均為負，符合題意，
綜上知，當a≤1時，方程ax²+2x+1=0至少有一個負根，
必要性：若方程ax²+2x+1=0至少有一個負根，
當a=0時，方程2x+1=0符合題意，
當a≠0時，方程ax²+2x+1=0應有一正根一負根或兩個負根，
則$\frac{1}{a}$＜0或$\left\{\begin{array}{l}{△=4-4a≥0}\\{-\frac{2}{a}＜0}\\{\frac{1}{a}＞0}\end{array}\right.$，解得a＜0或0＜a≤1，
綜上知：方程ax²+2x+1=0至少有一負根，則a≤1，
故方程ax²+2x+1=0至少有一負根的充要條件是a≤1．

點評 本題考查了充分必要條件，考查二次函數的性質，是一道中檔題．