Question

5．在△ABC中，AB=2，AC=3，BC=$\sqrt{7}$，P，Q為BC邊上的動點且BP=CQ，則$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$的最大值為$\frac{19}{4}$．

Answer 1

分析 以B為原點，以BC所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)點P（x，0），由題意求得其它各點的坐標(biāo)，計算$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=-x²+$\sqrt{7}$x+3，0≤x≤$\sqrt{7}$．再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的最大值．

解答 解：△ABC中，AB=2，AC=3，BC=$\sqrt{7}$，P，Q為BC邊上的動點且BP=CQ，
∴cosB=$\frac{4+7-9}{2•2•\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{7}}{14}$，sinB=$\sqrt{{1-cos}^{2}B}$=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$，以B為原點，以BC所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，
則可得B（0，0），C（$\sqrt{7}$，0），A（$\frac{\sqrt{7}}{7}$，$\frac{3\sqrt{21}}{7}$）．
設(shè)點P（x，0），∵$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{QC}$，∴x=$\sqrt{7}$-x_Q，求得x_Q=$\sqrt{7}$-x，即Q（$\sqrt{7}$-x，0），0≤x≤$\sqrt{7}$．
則$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=（x-$\frac{\sqrt{7}}{7}$，-$\frac{3\sqrt{21}}{7}$）•（$\frac{6\sqrt{7}}{7}$-x，-$\frac{3\sqrt{21}}{7}$）=-x²+$\sqrt{7}$x+3，
故當(dāng)x=$\frac{\sqrt{7}}{2}$時，即P、Q為線段BC的中點時，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$ 取得最大值為$\frac{19}{4}$，
故答案為：$\frac{19}{4}$．

點評 本題主要考查兩個向量坐標(biāo)形式的運算，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．