Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差為-1，且a₂+a₇+a₁₂=-6，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n與前n項和S_n；
（2）將數(shù)列{a_n}的前4項抽去其中一項后，剩下三項按原來順序恰為等比數(shù)列{b_n}的前3項，記{b_n}的前n項和為T_n，若存在m∈N^*，使對任意n∈N^*總有S_n＜T_m+λ恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用a₂+a₇+a₁₂=-6以及等差數(shù)列的性質(zhì)，求出a₇=-2，再把公差代入即可求出首項，以及通項公式和前n項和S_n；
（2）先由已知求出等比數(shù)列的首項和公比，代入求和公式得T_m，并利用函數(shù)的單調(diào)性求出其范圍；再利用（1）的結(jié)論以及S_n＜T_m+λ恒成立，即可求實數(shù)λ的取值范圍．
解答：解：（1）由a₂+a₇+a₁₂=-6得a₇=-2，
所以a₁=4（4分）
∴a_n=5-n，
從而（6分）
（2）由題意知b₁=4，b₂=2，b₃=1（18分）
設(shè)等比數(shù)列b_n的公比為q，則，
∴
∵隨m遞減，
∴T_m為遞增數(shù)列，得4≤T_m＜8（10分）
又，
故（S_n）_max=S₄=S₅=10，（11分）
若存在m∈N^*，使對任意n∈N^*總有S_n＜T_m+λ
則10＜8+λ，得λ＞2（14分）
點評：本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識，以及數(shù)列與函數(shù)的綜合問題，屬于基礎(chǔ)知識的大綜合．