Question

如圖，在x軸上方有一段曲線弧C，其端點A、B在x軸上（但不屬于C），對C上任一點P及點F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），滿足：|PF1|+|PF2|=2

2

．直線AP，BP分別交直線l：x=a（a＞

2

）于R，T兩點．
（Ⅰ）求曲線弧C的方程；
（Ⅱ）求|RT|的最小值（用a表示）．

Answer 1

分析：（ I）由題意知曲線弧C是以F₁、F₂為焦點的半橢圓，根據(jù)橢圓的定義寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（ II）設(shè)曲線C上的點P為（x₀，y₀），由點斜式寫出直線AP，BP的方程，令x=a得R，T的縱坐標(biāo)y_R、y_T；求|RT|=|y_R-y_T|的最小值即可．

解答：解：（ I）∵曲線弧C上任一點P滿足：|PF1|+|PF2|=2

2

，
∴由橢圓的定義知，曲線C是以F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）為焦點的半橢圓，
且：c=1 ，  a=

2

 ，  b2=a2-c2=1．
∴曲線弧C的方程為

x2

2

+y2=1 (y＞0)．
（注：不寫條件“y＞0”應(yīng)扣分）
（ II）由（I）知，曲線C的方程為

x2

2

+y2=1 (y＞0)，設(shè)P（x₀，y₀），
則有

x

2 0

+2

y

2 0

=2，即 

y 2 0

x 2 0 -2

=-

1

2

①；
又A(-

2

 ， 0)，B(

2

 ， 0)，從而直線AP，BP的方程為
AP：y=

y0

x0+ 2

(x+

2

)；   BP：y=

y0

x0- 2

(x-

2

)；
令x=a得R，T的縱坐標(biāo)分別為yR=

y0

x0+ 2

(a+

2

)；      yT=

y0

x0- 2

(a-

2

)．
∴yR•yT=

y 2 0

x 2 0 -2

(a2-2)②；
將①代入②，得 yRyT=

1

2

(2-a2)．
∴|RT|=|yR-yT|=

y 2 R + y 2 T -2yRyT

≥

2|yRyT|-2yRyT

=

2(a2-2)

．
當(dāng)且僅當(dāng)|y_R|=|y_T|，即y_R=-y_T時，取等號．
即|RT|的最小值是

2(a2-2)

．

點評：本題考查了橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線與圓錐曲線的問題，是易錯題．