Question

如圖，在x軸上方有一段曲線弧Γ，其端點(diǎn)A、B在x軸上（但不屬于Γ），對(duì)Γ上任一點(diǎn)P及點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），滿足：．直線AP，BP分別交直線于R，T兩點(diǎn)．
（1）求曲線弧Γ的方程；
（2）求|RT|的最小值（用a表示）；
（3）曲線Γ上是否存點(diǎn)P，使△PRT為正三角形？若存在，求a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓的定義和簡單性質(zhì)求得 Γ的方程．
（2） 設(shè)出P，R，T的坐標(biāo)，由A，P，R三點(diǎn)共線，得 ①，由B，P，T三點(diǎn)共線得：②，變形得即．利用基本不等式求出|RT|的最小值．
（3）設(shè)P（x，y），線AP，BP的斜率存在，分別設(shè)為k₁、k₂ ，由正三角形的性質(zhì)得，
而由橢圓的方程知，矛盾，故不存在點(diǎn)P，使△PRT為正三角形．
解答：解：（1）由橢圓的定義，曲線Γ是以F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）為焦點(diǎn)的半橢圓，，∴Γ的方程為．
（2）解：設(shè)P（m，n），R（a，y₁），T（a，y₂），則由A，P，R三點(diǎn)共線，得 ①，
同理，由B，P，T三點(diǎn)共線得：②，由①×②得：．
由，代入上式，．
即．
，
當(dāng)且僅當(dāng)|y₁|=|y₂|，即y₁=-y₂時(shí)，取等號(hào)．
即|RT|的最小值是．
（3）設(shè)P（x，y），依題設(shè)，直線l∥y軸，若△PRT為正三角形，則必有∠PAB=180°-∠PBx=30°，
從而直線AP，BP的斜率存在，分別設(shè)為k₁、k₂，由 ；，
于是有，而由橢圓的方程知 ，矛盾．
∴不存在點(diǎn)P，使△PRT為正三角形．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，正確進(jìn)行式子的運(yùn)算是本題的難點(diǎn)．