Question

定義一種運(yùn)算

a b c d

=ad-bc，若函數(shù)f(x)=

acosx bsinx cosx 2cosx

且f(0)=2，f(

π

3

)=

1

2

-

3

2

．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）求使f（x）＞2的x的集合．

Answer 1

分析：（1）利用定義求f（x）的表達(dá)式，化簡為一個角的一個三角函數(shù)的形式，然后最小正周期；
（2）根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性，直接求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）結(jié)合函數(shù)的圖象或單位圓，直接求使f（x）＞2的x的集合．

解答：解：（1）由題意，得f（x）=2acos²x-bsinxcosx，
∵f（0）=2，
∴2a=2，
∴a=1
∴f（x）=2cos²x-bsinxcosx
又∵f(

π

3

)=

1

2

-

3

2

，
∴2×(

1

2

)2-b×

3

2

×

1

2

=

1

2

-

3

2

，
∴b=2
∴f(x)=2cos2x-2sinxcosx=1+cos2x-sin2x=1+

2

cos(2x+

π

4

)
∴f（x）的最小正周期為π
（2）由（1）得f(x)=1+

2

cos(2x+

π

4

)，
由2kπ-π≤2x+

π

4

≤2kπ，k∈Z得kπ-

5π

8

≤x≤kπ-

π

8

，k∈Z，從而得f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：[kπ-

5π

8

，kπ-

π

8

](k∈Z)
（3）要使f（x）＞2，則cos(2x+

π

4

)＞

2

2

，
于是得2kπ-

π

4

＜2x+

π

4

＜2kπ+

π

4

，k∈Z，
∴kπ-

π

4

＜x＜kπ，k∈Z，
故所求的x的集合是(kπ-

π

4

，kπ)，k∈Z

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的周期性及其求法，余弦函數(shù)的單調(diào)性，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題．