Question

選修4一5：不等式選講
設(shè)函數(shù)f （x）=|x-a|+3x，其中a≠0．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f（x）≥3x+2的解集；
（2）若不等式f （x）≤0的解集包含{x|x≤-1}，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)f （x）=|x-2|+3x，不等式即|x-2|+3x≥3x+2，即|x-2|≥2，由此求得它的解集．
（2）由不等式可得|x-a|≤-3x，即 ，或 ．分a大于零和a小于零兩種情況，分別求得不等式組的解集，再根據(jù)f （x）≤0的解集包含{x|x≤-1}，求得a的范圍．
解答：解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)f （x）=|x-a|+3x=|x-2|+3x，
不等式f（x））≥3x+2，即|x-2|+3x≥3x+2，即|x-2|≥2，
∴x-2≥2，或 x-2≤-2．即 x≥4，或 x≤0，故f（x））≥3x+2的解集為{x|x≥4，或 x≤0}．
（2）由不等式f （x）≤0，可得|x-a|≤-3x，即 ，或 ．
由于a≠0，
①若a＞0，則不等式組的解集為 {x|x≤-}．
由f （x）≤0的解集包含{x|x≤-1}，可得-≥-1，求得 0＜a≤2．
②若a＜0，則不等式組的解集為 {x|x≤}，
由f （x）≤0的解集包含{x|x≤-1}，可得 ≥-1，求得-4≤a＜0．
綜上可得，a的取值范圍為{a|0＜a≤2，或-4≤a＜0 }．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，集合間的包含關(guān)系，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．