本題有(1)、(2)、(3)三個選答題,每題7分,請考生任選2題作答,滿分14分.如果多作,則按所做的前兩題計分.作答時,先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑,并將選題號填入括號中.
(1)選修4一2:矩陣與變換
求矩陣A=
2,1
3,0
的特征值及對應(yīng)的特征向量.
(2)選修4一4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知直線l的參數(shù)方程:
x=t
y=1+2t
(t為參數(shù))和圓C的極坐標(biāo)方程:ρ=2
2
sin(θ+
π
4
)

(Ⅰ)將直線l的參數(shù)方程化為普通方程,圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)判斷直線l和圓C的位置關(guān)系.
(3)選修4一5:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-2|.若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)(a≠0,a,b∈R)恒成立,求實數(shù)x的范圍.
分析:(1)先根據(jù)特征值的定義列出特征多項式,令f(λ)=0解方程可得特征值,再由特征值列出方程組即可解得相應(yīng)的特征向量.
(2)(Ⅰ)將直線l的參數(shù)方程的參數(shù)t消去即可求出直線的普通方程,利用極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換公式求出圓的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)欲判斷直線l和圓C的位置關(guān)系,只需求圓心到直線的距離與半徑進行比較即可,根據(jù)點到線的距離公式求出圓心到直線的距離然后與半徑比較.
(3)由|a+b|+|a-b|≥|a|f(x),且a≠0,得
|a+b|+|a-b|
|a|
≥f(x)則可以求出左式的最小值,使得f(x)小于等于最小值即可,從而得到解不等式|x-1|+|x-2|≤2即得.
解答:解:(1)設(shè)A的一個特征值為λ,由題意知:
.
λ-2  -1
-3   λ
.
=0
,
所以(λ-2)λ-3=0,即λ1=-1,λ2=3.(3分)
將λ1=-1代入特征方程組,得
-3x-y=0
-3x-y=0
⇒3x+y=0

可取
1
-3
為屬于特征值λ1=-1的一個特征向量.
將λ2=3代入特征方程組,得
x-y=0
-3x+3y=0
⇒x-y=0

可取
1
1
為屬于特征值λ2=3的一個特征向量.
(2)(Ⅰ)消去參數(shù)t,得直線l的普通方程為y=2x+1(3分)
ρ=2
2
sin(θ+
π
4
),即ρ=2(sinθ+cosθ),兩邊同乘以ρ得ρ2=2(ρsinθ+ρcosθ),
得⊙C的直角坐標(biāo)方程為(x-1)2+(x-1)2=2(5分)
(Ⅱ)圓心C到直線l的距離d=
|2-1+1|
22+12
=
2
5
5
2
,所以直線l和⊙C相交(7分)
(3)由|a+b|+|a-b|≥|a|f(x),且a≠0,得
|a+b|+|a-b|
|a|
≥f(x)(3分)
又因為
|a+b|+|a-b|
|a|
|a+b+a-b|
|a|
=2,則有2≥f(x)(5分)
解不等式|x-1|+|x-2|≤2,得
1
2
≤x≤
5
2
(7分)
點評:本題主要考查來了矩陣特征值與特征向量的計算、簡單曲線的極坐標(biāo)方程,以及直線的參數(shù)方程和直線與圓的位置關(guān)系的判定,帶絕對值的函數(shù)等基礎(chǔ)知識,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

本題有(1)、(2)、(3)三個選答題,請考生任選2題作答.
(1)選修4-2:矩陣與變換
已知a,b∈R,若M=
-1a
b3
所對應(yīng)的變換TM把直線L:2x-y=3變換為自身,求實數(shù)a,b,并求M的逆矩陣.
(2)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知直線l的參數(shù)方程:
x=t
y=1+2t
(t為參數(shù))和圓C的極坐標(biāo)方程:ρ=2
2
sin(θ+
π
4
)

①將直線l的參數(shù)方程化為普通方程,圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;
②判斷直線l和圓C的位置關(guān)系.
(3)選修4-5:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-2|.若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)(a≠0,a,b∈R)恒成立,求實數(shù)x的范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

本題有(1)、(2)、(3)三個選擇題,每題7分,請考生任選2題作答,滿分14分.如果多做,則按所做的前兩題記分.
(1).選修4-2:矩陣與變換
已知矩陣A=
1a
-1b
,A的一個特征值λ=2,其對應(yīng)的特征向量是α1=
2
1

(Ⅰ)求矩陣A;
(Ⅱ)若向量β=
7
4
,計算A2β的值.

(2).選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知橢圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2=
12
3cos2θ+4sin2θ
,點F1,F(xiàn)2為其左、右焦點,直線l的參數(shù)方程為
x=2+
2
2
t
y=
2
2
t
(t為參數(shù),t∈R).求點F1,F(xiàn)2到直線l的距離之和.
(3).選修4-5:不等式選講
已知x,y,z均為正數(shù).求證:
x
yz
+
y
zx
+
z
xy
1
x
+
1
y
+
1
z

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

本題有(1)、(2)、(3)三個選答題,每小題7分,請考生任選2題作答,滿分14分,如果多做,則按所做的前兩題計分.
(1)選修4-2:矩陣與變換
已知矩陣A=
12
34

①求矩陣A的逆矩陣B;
②若直線l經(jīng)過矩陣B變換后的方程為y=x,求直線l的方程.
(2)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知極坐標(biāo)系的極點與直角坐標(biāo)系的原點重合,極軸與直角坐標(biāo)系中x軸的正半軸重合.圓C的參數(shù)方程為
x=1+2cosα
y=-1+2sinα
(a為參數(shù)),點Q極坐標(biāo)為(2,
7
4
π).
(Ⅰ)化圓C的參數(shù)方程為極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若點P是圓C上的任意一點,求P、Q兩點距離的最小值.
(3)選修4-5:不等式選講
(I)關(guān)于x的不等式|x-3|+|x-4|<a的解不是空集,求a的取值范圍.
(II)設(shè)x,y,z∈R,且
x2
16
+
y2
5
+
z2
4
=1
,求x+y+z的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

本題有(1)、(2)、(3)三個選答題,每題7分,請考生任選2題作答,滿分14分.如果多做,則按所做的前兩題記分.
(Ⅰ)選修4-2:矩陣與變換,
已知矩陣A=
01
a0
,矩陣B=
02
b0
,直線l1
:x-y+4=0經(jīng)矩陣A所對應(yīng)的變換得直線l2,直線l2又經(jīng)矩陣B所對應(yīng)的變換得到直線l3:x+y+4=0,求直線l2的方程.
(Ⅱ)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程,
求直線
x=-2+2t
y=-2t
被曲線
x=1+4cosθ
y=-1+4sinθ
截得的弦長.
(Ⅲ)選修4-5:不等式選講,解不等式|x+1|+|2x-4|>6.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

本題有(1)、(2)、(3)三個選答題,每題7分,請考生任選2題作答,滿分14分
(1)已知矩陣M=
12
21
,β=
1
7
,(Ⅰ)求M-1;(Ⅱ)求矩陣M的特征值和對應(yīng)的特征向量;(Ⅲ)計算M100β.
(2)曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=1+cosθ,點A的極坐標(biāo)是(2,0),求曲線C在它所在的平面內(nèi)繞點A旋轉(zhuǎn)一周而形成的圖形的周長.
(3)已知a>0,求證:
a2+
1
a2
-
2
≥a+
1
a
-2

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案