Question

已知首項為x₁的數列{x_n}滿足（a為常數）．
（1）若對于任意的x₁≠﹣1，有x_n+2=x_n對于任意的n∈N*都成立，求a的值；
（2）當a=1時，若x₁＞1，數列{x_n}是遞增數列還是遞減數列？請說明理由；
（3）當a確定后，數列{x_n}由其首項x₁確定，當a=2時，通過對數列{x_n}的探究，寫出“{x_n}是有窮數列”的一個真命題（不必證明）．

Answer 1

解：（1）∵x_n+2====x_n
∴a²x_n=（a+1）x_n²+x_n，
當n=1時，由x₁的任意性得，
∴a=﹣1．
（2）數列{x_n}是遞減數列．
∵x₁＞0.
∴x_n＞0，n∈N*
又x_n+1﹣x_n=﹣x_n=﹣＜0，n∈N*，
故數列{x_n}是遞減數列．
（3）滿足條件的真命題為：數列{x_n}滿足x_n+1=，若x₁=﹣，則{xn}是有窮數列．