Question

已知首項(xiàng)為x₁的數(shù)列{x_n}滿足x_n+1=

axn

xn+1

（a為常數(shù)）．
（1）若對(duì)于任意的x₁≠-1，有x_n+2=x_n對(duì)于任意的n∈N^*都成立，求a的值；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，若x₁＞0，數(shù)列{x_n}是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列？請(qǐng)說明理由；
（3）當(dāng)a確定后，數(shù)列{x_n}由其首項(xiàng)x₁確定，當(dāng)a=2時(shí)，通過對(duì)數(shù)列{x_n}的探究，寫出“{x_n}是有窮數(shù)列”的一個(gè)真命題（不必證明）．說明：對(duì)于第3題，將根據(jù)寫出真命題所體現(xiàn)的思維層次和對(duì)問題探究的完整性，給予不同的評(píng)分．

Answer 1

分析：（1）求出x_n+2，代入x_n+1化簡(jiǎn)后等于x_n，得到a²x_n=（a+1）x_n²+x_n，當(dāng)n=1時(shí)，由x₁的任意性得得到a的值即可；
（2）數(shù)列為遞減數(shù)列，因?yàn)楫?dāng)a=1且x₁＞1得到x_n＞0，而x_n+1-x_n=

xn

xn+1

-x_n=-

x 2 n

xn+1

＜0，所以得證；
（3）由a=2得到數(shù)列{x_n}滿足x_n+1=

2xn

xn+1

，因?yàn)閧x_n}是有窮數(shù)列，可以令x₁=-

1

7

得到即可．

解答：解：（1）∵x_n+2=

axn+1

xn+1+1

=

a• axn xn+1

axn xn+1 + 1

=

a2xn

axn+xn+1

=x_n
∴a²x_n=（a+1）x_n²+x_n，當(dāng)n=1時(shí)，由x₁的任意性得

a2=1 a+1=0

，∴a=-1．
（2）數(shù)列{x_n}是遞減數(shù)列．
∵x₁＞0.xn+1=

xn

xn+1

∴x_n＞0，n∈N^*又x_n+1-x_n=

xn

xn+1

-x_n=-

x 2 n

xn+1

＜0，n∈N^*，
故數(shù)列{x_n}是遞減數(shù)列．
（3）滿足條件的真命題為：數(shù)列{x_n}滿足x_n+1=

2xn

xn+1

，若x₁=-

1

7

，則{x_n}是有窮數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)利用數(shù)列的遞推式解決數(shù)學(xué)問題，會(huì)判斷一個(gè)數(shù)列是遞減或遞增數(shù)列．