Question

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且acosC-

1

2

c=b．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）若|

AB

+

AC

|=2，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點：余弦定理的應(yīng)用

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）利用已知條件應(yīng)用正弦定理，結(jié)合三角形的內(nèi)角和化簡，得到A的余弦函數(shù)值，即可求角A的大��；
（Ⅱ）方程|

AB

+

AC

|=2平方，然后利用基本不等式，求解bc的最值，即可求△ABC面積的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）acosC-

1

2

c=b⇒sinAcosC-

1

2

sinC=sinB，⇒sinAcosC-

1

2

sinC=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC⇒cosA=-

1

2

⇒A=

2π

3

．
（Ⅱ）將|

AB

+

AC

|=2兩邊平方可得：c²+b²+2bccosA=4，即b²+c²-bc=4，
由均值不等式，b²+c²=bc+4≥2bc，則bc≤4，
所以S△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤

3

，當且僅當b=c時，
△ABC面積的面積取到最大值

3

．

點評：本題考查余弦定理以及正弦定理的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，考查計算能力．