Question

（本小題滿分14分） 函數(shù)．

（1）要使在（0，1）上單調(diào)遞增，求的取值范圍；

（2）當(dāng)＞0時(shí)，若函數(shù)滿足=1，=，求函數(shù)的解析式；

（3）若x∈[0，1]時(shí)，圖象上任意一點(diǎn)處的切線傾斜角為θ，求當(dāng)0≤θ≤時(shí)的取值范圍．

 

Answer 1

（1）≥;（2）≤≤．

【解析】

試題分析：（1）若可導(dǎo)函數(shù)在指定的區(qū)間上單調(diào)遞增（減），求參數(shù)問題，可轉(zhuǎn)化為恒成立，從而構(gòu)建不等式，要注意“=”是否可以取到．（2）已知可導(dǎo)函數(shù)的極值求函數(shù)解析式的步驟一、求導(dǎo)數(shù)；二、求方程的根；三、檢查與方程的根左右值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么在這個(gè)根處取得極大值，如果左負(fù)右正，那么在這個(gè)根處取得極小值，四、再根據(jù)所給的極值，列出方程（或方程組）求出參數(shù)即可；（3）導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用．

試題解析：（1），要使在（0，1）上單調(diào)遞增，

則∈（0，1）時(shí)，≥0恒成立．∴≥0，即當(dāng)∈（0，1）時(shí)，≥恒成立．

∴≥，即的取值范圍是[∞． 4分

（2）由，令 =0，得=0，或=．∵＞0，∴當(dāng)變化時(shí)，

、 的變化情況如下表：

	（-∞，0）	0	（0，）		（，+∞）
	-	0	+	0	-
		極小值		極大值

 

∴y極小值==b=1，y極大值== - + · +1=．

∴b=1，=1．故=． 9分

（3）當(dāng)∈[0，1]時(shí)，tanθ=．由θ∈[0，]，得0≤≤1，

即∈[0，1]時(shí)，0≤≤1恒成立．當(dāng)=0時(shí)，∈R．

當(dāng)∈（0，1]時(shí)，由≥0恒成立，由（2）知≥．

由≤1恒成立，≤（3+），∴≤（等號(hào)在=時(shí)取得）．

綜上，≤≤． 14分

考點(diǎn)：函數(shù)的極值，單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)，函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義．