Question

利用導數求和
(1)S_n=1+2x+3x²+…+nx^n－1(x≠0,n∈N^*)
(2)S_n=C+2C+3C+…+nC,(n∈N^*)

Answer 1

(1) S_n=1+2x+3x²+…+nx^n－1=
(2)S_n=C+2C+…+nC=n·2^n－1

(1)當x=1時，S_n=1+2+3+…+n=n(n+1);
當x≠1時，
∵x+x²+x³+…+xⁿ=,
兩邊都是關于x的函數，求導得
(x+x²+x³+…+xⁿ)′=()′
即S_n=1+2x+3x²+…+nx^n－1=
(2)∵(1+x)ⁿ=1+Cx+Cx²+…+Cxⁿ,
兩邊都是關于x的可導函數，求導得
n(1+x)^n－1=C+2Cx+3Cx²+…+nCx^n－1,
令x=1得，n·2^n－1=C+2C+3C+…+nC,
即S_n=C+2C+…+nC=n·2^n－1。