Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）是定義在R上的奇函數(shù)，且x=-1時(shí)，函數(shù)取極值1．
（1）求a，b，c的值；
（2）若x₁，x₂∈[-1，1]，求證：|f（x₁）-f（x₂）|≤2；
（3）求證：曲線y=f（x）上不存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，使過(guò)A，B兩點(diǎn)的切線都垂直于直線AB．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)則f（-x）=-f（x）解出b的值又因?yàn)閤=-1時(shí)，函數(shù)取極值1即f′（1）=0且f（1）=-1解出a、c即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)為減函數(shù)f（1）≤f（x）≤f（-1）得到|f（x）|≤1，所以，|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x₁）|+|f（x₂）|≤1+1=2得證；（3）是證明題，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂），∵f′(x)=

3

2

x2-

3

2

，過(guò)A，B兩點(diǎn)的切線平行，∴f′（x₁）=f（x₂），可得x₁²=x₂²∵x₁≠x₂，∴x₁=-x₂，由于過(guò)A點(diǎn)的切線垂直于直線AB，證出3x₁⁴-12x₁²+13=0無(wú)解．所以曲線上不存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，過(guò)A，B兩點(diǎn)的切線都垂直于直線AB．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），即bx²=0對(duì)于x∈R恒成立，
∴b=0
∴f（x）=ax³+cx，f′（x）=3ax²+c
∵x=-1時(shí)，函數(shù)取極值1，
∴3a+c=0，-a-c=1
解得：a=

1

2

，c=-

3

2

（2）f(x)=

1

2

x3-

3

2

x，f′(x)=

3

2

x2-

3

2

=

3

2

(x-1)(x+1)，
x∈（-1，1）時(shí)f′（x）＜0，∴f（x）在x∈[-1，1]上是減函數(shù)，
即f（1）≤f（x）≤f（-1），則|f（x）|≤1，
當(dāng)x₁，x₂∈[-1，1]時(shí)，|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x₁）|+|f（x₂）|≤1+1=2
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂），
∵f′(x)=

3

2

x2-

3

2

，過(guò)A，B兩點(diǎn)的切線平行，
∴f′（x₁）=f′（x₂），可得x₁²=x₂²
∵x₁≠x₂，
∴x₁=-x₂，則y1=-y2，kAB=

y2-y1

x2-x1

=

y1

x1

=

1

2

x12-

3

2

，
由于過(guò)A點(diǎn)的切線垂直于直線AB，
∴(

3

2

x12-

3

2

)(

1

2

x12-

3

2

)=-1，
∴3x₁⁴-12x₁²+13=0，
∵△=-12＜0
∴關(guān)于x₁的方程無(wú)解．
∴曲線上不存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，過(guò)A，B兩點(diǎn)的切線都垂直于直線AB．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，以及證明不等式的方法．