Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C： + =1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F1 ， F2 ， 離心率為 ，以原點(diǎn)為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x﹣y+ =0相切，過點(diǎn)F2的直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若 =3 ，求直線l的方程；
（3）求△F1MN面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得e= = ，

由直線x﹣y+ =0與圓x2+y2=b2相切，可得

=b=1，

又a2﹣c2=1，

解得a=2，c= ，

即有橢圓的方程為 +y2=1

（2）解：F2（ ，0），

設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），

設(shè)直線l：x=my+ ，代入橢圓方程可得，

（4+m2）y2+2 my﹣1=0，

y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣ ，

由 =3 ，可得y1=﹣3y2，

解方程可得m=± ，

即有直線l的方程為x=± y+

（3）解：△F1MN面積為S= 2c|y1﹣y2|=

= = ，

令1+m2=t（t≥1），則S=4 ≤4 =2，

當(dāng)t=3，即m=± 時(shí)，S取得最大值，且為2

【解析】（1）運(yùn)用離心率公式和直線與相切的條件：d=r，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，解得a，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）求得右焦點(diǎn)，設(shè)出M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），設(shè)直線l：x=my+ ，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量共線的坐標(biāo)表示，解方程可得m，進(jìn)而得到直線的方程；（3）運(yùn)用弦長公式和換元法，運(yùn)用三角形的面積公式可得S= 2c|y1﹣y2|，化簡整理運(yùn)用基本不等式，即可得到最大值．