Question

已知a＞0且a≠1，數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a，公比也為a的等比數(shù)列，設(shè)b_n=a_n•1ga_n，問是否存在a，對(duì)任意自然數(shù)n∈N^*，數(shù)列{b_n}中的每一項(xiàng)總小于它后面所有的項(xiàng)？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，則說明理由．

Answer 1

∵{a_n}是首項(xiàng)為a，公比為a的等比數(shù)列，
∴an=an，b_n=a_n•1ga_n=naⁿlga，
∴bn+1=(n+1)an+1 lga，
∴bn+1-bn=an[(n+1)a-n]lga．
（1）當(dāng)a＞1時(shí)，lga＞0，aⁿ＞0，（n+1）a-n＞（n+1）-n＞0，
∴bn＜bn+1(n∈N*)．
（2）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，lga＜0，
當(dāng)且僅當(dāng)（n+1）a-n＜0（n∈N^*）時(shí)，
bn＜bn+1(n∈N*)，
即當(dāng)a＜

n

n+1

（n∈N^*）時(shí)，b_n＜b_n+1（n∈N^*），
而當(dāng)n∈N^*時(shí)，n+1≤2n，即

n

n+1

≥

1

2

，
∴只要取a＜

1

2

．
綜上所述，當(dāng)a的取值為（0，

1

2

）∪（1，+∞）時(shí)，
使得數(shù)列{b_n}中的任一項(xiàng)都小于它后面各項(xiàng)．