Question

16．已知函數(shù)f（x）=|x-2|．
（1）若對(duì)任意的a，b，c∈R（a≠c），不等式$\frac{1}{2}$f（m）≤$\frac{|a-b|+|c-d|}{|a-c|}$恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值；
（2）在（1）的條件下，解不等式f（x）≤2-|x-m|．

Answer 1

分析 （1）由絕對(duì)值不等式可得$\frac{|a-b|+|c-d|}{|a-c|}$≥1，由不等式$\frac{1}{2}$f（m）≤$\frac{|a-b|+|c-d|}{|a-c|}$恒成立可得$\frac{1}{2}|m-2|≤1$，解絕對(duì)值不等式可得實(shí)數(shù)m的最大值為4；
（2）把m=4代入不等式f（x）≤2-|x-m|，得到|x-2|+|x-4|≤2，結(jié)合|x-2|+|x-4|≥|（x-2）-（x-4）|=2，可得|x-2|+|x-4|=2，由絕對(duì)值的幾何意義得答案．

解答 解：（1）由$\frac{|a-b|+|c-d|}{|a-c|}$≥$\frac{|（a-b）-（c-b）|}{|a-c|}=1$，
∴$\frac{1}{2}$f（m）≤$\frac{|a-b|+|c-d|}{|a-c|}$恒成立?$\frac{1}{2}|m-2|≤1$⇒0≤m≤4，
∴實(shí)數(shù)m的最大值為4；
（2）f（x）≤2-|x-m|?|x-2|≤2-|x-4|．
即|x-2|+|x-4|≤2，
∵|x-2|+|x-4|≥|（x-2）-（x-4）|=2，
∴|x-2|+|x-4|=2，
由絕對(duì)值的幾何意義可得：{x|2≤x≤4}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查了絕對(duì)值不等式的應(yīng)用，是中檔題．