Question

如圖，四棱錐E-ABCD中，ABCD是矩形，平面EAB⊥平面ABCD，AE=EB=BC=2，F為CE上的點，
且BF⊥平面ACE．
（1）求證：AE⊥BE；
（2）求三棱錐D-AEC的體積；
（3）求二面角A-CD-E的余弦值．

Answer 1

證明：（1）∵ABCD是矩形，
∴BC⊥AB，
∵平面EAB⊥平面ABCD，
平面EAB∩平面ABCD=AB，BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面EAB，
∵EA?平面EAB，
∴BC⊥EA，
∵BF⊥平面ACE，EA?平面ACE，
∴BF⊥EA，
∵BC∩BF=B，BC?平面EBC，BF?平面EBC，
∴EA⊥平面EBC，
∵BE?平面EBC，
∴EA⊥BE．
解：（2）∵EA⊥BE，
∴AB==2
S_△ADC===2
設O為AB的中點，連接EO，
∵AE=EB=2，
∴EO⊥AB，
∵平面EAB⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD，即EO為三棱錐E-ADC的高，且EO=AB=，
∴V_D-ABC=V_E-ADC=•S_△ADC×EO=．
（3）以O為原點，分別以OE、OB所在直線為x軸，y軸，建立空間直角坐標系，則E（，0，0），C（0，，2），A（0，-，0），D（0，-，2），
∴=（，0，0），=（0，-2，0），=（，，-2），
由（2）知=（，0，0）是平面ACD的一個法向量，設平面ECD的法向量為=（x，y，z），
則，即，令x=，則y=0，z=1，
所以=（，0，1），設二面角A-CD-E的平面角的大小為θ，由圖得0＜θ＜，
cosθ=cos＜，＞=
所以二面角A-CD-E的余弦值為．
分析：（1）由已知中ABCD是矩形，平面EAB⊥平面ABCD，根據面面垂直的性質可得BC⊥平面EAB，進而根據線面垂直的性質得到BC⊥EA，同理BF⊥EA，由線面垂直判定定理可得EA⊥平面EBC，再由線面垂直的性質即可得到AE⊥BE；
（2）設O為AB的中點，連接EO，可證得EO為三棱錐E-ADC的高，求出三棱錐的底面面積和高的長度，代入棱錐體積公式，即可求出答案．
（3）以O為原點，分別以OE、OB所在直線為x軸，y軸，建立空間直角坐標系，分別求出平面ACD和平面ECD的法向量，代入向量夾角公式，即可求出二面角A-CD-E的余弦值．
點評：本題考查的知識點是二面角的平面及求示，棱錐的體積，平面與平面垂直的性質，熟練掌握空間線線垂直、線面垂直及面面垂直之間的相互轉化及辯證關系是解答本題的關鍵．