Question

如圖所示，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2AB=2AC=2．∠A₁AB=∠A₁AC=∠BAC=60°，設

AB

=

a

，

AC

=

b

，

AA

=

c

．
（1）試用向量

a

，

b

，

c

表示

BC1

，并求|

BC1

|；
（2）在平行四邊形BB₁C₁C內(nèi)是否存在一點O，使得A₁O⊥平面BB₁C₁C，若不存在，請說明理由；若存在，試確定O點的位置．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,平面向量的基本定理及其意義

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）利用向量的三角形法則可解；
（2）假設在平行四邊形BB₁C₁C內(nèi)存在一點O，使得A₁O⊥平面BB₁C₁C，

解答： 解：（1）因為幾何體是三棱柱，
所以

BC1

=

BA

+

AC

+

CC1

=-

a

+

b

+

c

，
所以|

BC1

|²=

a

2+

b

2+

c

2-2

a

•

b

+2

b

•

c

-2

a

•

c

=1+1+4-2×1×1×cos60°+2×1×2×cos60°-2×1×2×cos60°=5，
所以|

BC1

|=

5

；
（2）假設在平行四邊形BB₁C₁C內(nèi)存在一點O，使得A₁O⊥平面BB₁C₁C；
過A₁作A₁D⊥平面ABC，因為∠A₁AB=∠A₁AC=∠BAC=60°，所以D在∠BAC的平分線AE上，A₁D⊥BC，又BC⊥AE，所以BC⊥平面AA₁E₁E，
過A₁作A₁O⊥EE₁，則A₁O⊥平面BB₁C₁C；
所以在平行四邊形BB₁C₁C內(nèi)存在一點O，使得A₁O⊥平面BB₁C₁C；假設正確．

點評：本題考查了向量的三角形法則以及線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的運用，屬于中檔題．