Question

已知函數(shù)f（x）=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（2）函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=sin2x（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的周期性及其求法,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)解析式可得f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，從而由正弦函數(shù)的性質(zhì)可求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（2）由于f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

=sin[2（x+

π

12

）]+

1

2

，從而根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換即可得解．

解答： 解：（1）∵f（x）=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

=sin（2x+

π

6

）+

1

2

∴T=

2π

2

=π
∴由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

可解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，即單調(diào)增區(qū)間為：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．
（2）∵f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

=sin[2（x+

π

12

）]+

1

2

∴函數(shù)y=sin2x（x∈R）的圖象向左平移

π

12

個(gè)單位后，得到y(tǒng)=sin[2（x+

π

12

）]圖象，再向上平移

1

2

個(gè)單位即可得到f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

的圖象．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，屬于基礎(chǔ)題．