Question

2．已知函數(shù)f（x）為R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x³-4x，若函數(shù)g（x）=f（x）-a（x-2）有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，1）．

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)判斷x≥0時(shí)，f（x）=x³-4x的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)為偶函數(shù)作出簡(jiǎn)圖，把函數(shù)g（x）=f（x）-a（x-2）有4個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為即方程f（x）-a（x-2）=0有4個(gè)根．
也就是函數(shù)y=f（x）與y=a（x-2）有4個(gè)不同交點(diǎn)．求出過（2，0）與曲線f（x）=-x³+4x（x＜0）相切的直線的斜率，則答案可求．

解答 解：f（x）=x³-4x（x≥0），
f′（x）=3x²-4=$3（{x}^{2}-\frac{4}{3}）=3（x+\frac{2\sqrt{3}}{3}）（x-\frac{2\sqrt{3}}{3}）$，
當(dāng)x∈（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，+∞）上單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時(shí)，f（x）有極小值為$-\frac{22\sqrt{3}}{9}$．
函數(shù)g（x）=f（x）-a（x-2）有4個(gè)零點(diǎn)，即方程f（x）-a（x-2）=0有4個(gè)根．
也就是函數(shù)y=f（x）與y=a（x-2）有4個(gè)不同交點(diǎn)．
如圖：
∵函數(shù)f（x）為R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x³-4x，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-x³+4x．
設(shè)過（2，0）的直線與曲線f（x）=-x³+4x相切于點(diǎn)（${x}_{0}，-{{x}_{0}}^{3}+4{x}_{0}$），
則$f′（{x}_{0}）=-3{{x}_{0}}^{2}+4$，∴切線方程為$y+{{x}_{0}}^{3}-4{x}_{0}=（-3{{x}_{0}}^{2}+4）（x-{x}_{0}）$．
代入（2，0），得${{x}_{0}}^{3}-3{{x}_{0}}^{2}+4=0$，
即（x+1）（x-2）²=0，得x=-1．
∴切線的斜率為a=-3×（-1）²+4=1．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，1）．
故答案為：（0，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．