考點(diǎn):函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用
專題:綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:由
=
=1,可知點(diǎn)P(a,b)是曲線y=x
2-2lnx上的點(diǎn),Q(c,d)是直線y=3x-4上的點(diǎn),由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,過曲線y=x
2-2lnx上的點(diǎn)P(a,b)且與y=3x-4平行時(shí),|PQ|
2=(a-c)
2+(b-d)
2有最小值.
解答:
解:∵
=
=1,
∴點(diǎn)P(a,b)是曲線f(x)=x
2-2lnx(x>0)上的點(diǎn),Q(c,d)是直線y=3x-4上的點(diǎn),
∴|PQ|
2=(a-c)
2+(b-d)
2.
要使|PQ|
2最小,當(dāng)且僅當(dāng)過曲線y=x
2-2lnx上的點(diǎn)P(a,b)且與線y=3x-4平行時(shí).
∵f′(x)=2x-
=
(x>0),
由f′(x)>0得,x>1;由f′(x)<0得0<x<1.
∴當(dāng)x=1時(shí),f(x)取得極小值,為1.
作圖如下:
∵f′(x)|
x=a=2a-
,直線y=3x-4的斜率k=3,
∴2a-
=3,
∴a=2或a=-
(由于a>0,故舍去).
∴b=2
2-2ln2=4-2ln2.
設(shè)點(diǎn)P(2,4-2ln2)到直線y=3x-4的距離為d,則d
2=
.
∵|PQ|
2≥d
2=
,
∴(a-c)
2+(b-d)
2的最小值為
.
故選:D.
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)最值的應(yīng)用,分析得到點(diǎn)P(a,b)是曲線y=x2-2lnx上的點(diǎn),Q(c,d)是直線y=3x-4上的點(diǎn),|PQ|2=(a-c)2+(b-d)2是關(guān)鍵,也是難點(diǎn),考查理解題意與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的綜合應(yīng)用,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點(diǎn)到直線間的距離,屬于難題.