Question

已知函數(shù)f（x）=a（x-1）²+lnx．a(chǎn)∈R．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)都在不等式組所表示的區(qū)域內(nèi)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）a=-時(shí)求出f′（x），在定義域內(nèi)解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0即可；
（Ⅱ）由題意得a（x-1）²+lnx≤x-1對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，設(shè)g（x）=a（x-1）²+lnx-x+1，x∈[1，+∞），則問題等價(jià)于g（x）_max≤0，x∈[1，+∞）成立，求導(dǎo)數(shù)g′（x），按照a的范圍分類進(jìn)行討論可得g（x）的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可得g（x）的最大值，由最大值情況即可求得a的范圍；
解答：解：（Ⅰ）（x＞0），
，
當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f'（x）＞0，f（x）在（0，2）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞2時(shí)，f'（x）＜0，f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減；
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2），單調(diào)遞減區(qū)間是（2，+∞）． 
（Ⅱ）由題意得a（x-1）²+lnx≤x-1對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，
設(shè)g（x）=a（x-1）²+lnx-x+1，x∈[1，+∞），則有g(shù)（x）_max≤0，x∈[1，+∞）成立．
求導(dǎo)得，
①當(dāng)a≤0時(shí)，若x＞1，則g'（x）＜0，所以g（x）在[1，+∞）單調(diào)遞減，g（x）_max=g（1）=0≤0成立，得a≤0；
②當(dāng)時(shí)，，g（x）在x∈[1，+∞）上單調(diào)遞增，所以存在x＞1，使g（x）＞g（1）=0，此時(shí)不成立；    
③當(dāng)，，
則存在，有，所以不成立；
綜上得a≤0．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，考查恒成立問題，考查分類討論思想，恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決，解決（Ⅱ）問的關(guān)鍵是正確理解題意并能合理進(jìn)行轉(zhuǎn)化．