Question

設(shè)二次函數(shù)，對任意實數(shù)，恒成立；正數(shù)數(shù)列滿足.
（1）求函數(shù)的解析式和值域；
（2）試寫出一個區(qū)間，使得當(dāng)時，數(shù)列在這個區(qū)間上是遞增數(shù)列，并說明理由；
（3）若已知，求證：數(shù)列是等比數(shù)列

Answer 1

解：（1）其值域為.…………4分
（2）解：當(dāng)時，數(shù)列在這個區(qū)間上是遞增數(shù)列，證明如下：
設(shè)，則，所以對一切，均有；………6分

，
從而得，即，所以數(shù)列在區(qū)間上是遞增數(shù)列.………8分
注：本題的區(qū)間也可以是、、等無窮多個.
另解：若數(shù)列在某個區(qū)間上是遞增數(shù)列，則
即……6分
又當(dāng)時，，所以對一切，均有且，所以數(shù)列在區(qū)間上是遞增數(shù)列.
（3）證明略

本試題主要是考查了函數(shù)的解析式和值域以及函數(shù)單調(diào)性的運用，以及等比數(shù)列的定義的綜合問題。
（1）由恒成立等價于恒成立轉(zhuǎn)化為判別式的不等式得到參數(shù)k的值，進(jìn)而求解。
（2）利用數(shù)列的單調(diào)性的定義，若數(shù)列在某個區(qū)間上是遞增數(shù)列，則
即
（3）由（2）知，從而，即得到數(shù)列的遞推關(guān)系，進(jìn)而求解得到。