Question

已知a，b，c是實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，g（x）=ax+b（a≠0）．
（1）證明：若f（x）=x無(wú)實(shí)根，則f（f（x））=x也無(wú)實(shí)根；
（2）若當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，|f（x）|≤1，證明：|g（x）|≤2；
（3）設(shè)a＞0，在（2）的條件下，若g（x）的最大值為2，求f（x）．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）首先，根據(jù)f（x）=x無(wú)實(shí)根，得到△=（b-1）²-4ac＜0，然后，利用恒成立思想得到f（f（x））=x無(wú)實(shí)根；
（2）首先，得到|c|≤1，然后，分為兩種情形進(jìn)行討論：a＞0和a＜0，然后，分別證明即可；
（3）結(jié)合條件，得到g（x）=ax+b在[-1，1]上為單調(diào)增函數(shù)，然后，得到直線x=0是二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，從而確定待求系數(shù)的值，進(jìn)一步確定函數(shù)解析式．

解答： 解：（1）∵f（x）=x無(wú)實(shí)根，
且f（x）=ax²+bx+c，
∴ax²+（b-1）x+c=0無(wú)實(shí)根，
∴△=（b-1）²-4ac＜0，
若a＞0，則函數(shù)y=f（x）-x的圖象在x軸上方，
∴y＞0，即f（x）-x＞0恒成立，即：f（x）＞x對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立． 
∴對(duì)f（x），有f（f（x））＞f（x）＞x恒成立，
∴f（f（x））=x無(wú)實(shí)根
（2）設(shè)|f（0）|≤1，而f（0）=c，
∴|c|≤1，
當(dāng)a＞0時(shí)，g（x）=ax+b在[-1，1]上為單調(diào)增函數(shù)，
所以g（-1）≤g（x）≤g（1），
∵|f（x）|≤1，|c|≤1，
∴g（1）=a+b=f（1）-c≤|f（1）|+|c|=2，
g（-1）=-a+b=-f（-1）+c≥-（|f（-2）|+|c|）≥-2，
∴|g（x）|≤2，
當(dāng)a＜0時(shí)，g（x）=ax+b在[-1，1]上為單調(diào)減函數(shù)，
所以g（-1）≥g（x）≥g（1），
∵|f（x）|≤1，|c|≤1，
∴|g（ x）|=|f（1）-1|≤|f（1）|+|c|≤2，
∴|g（x）|≤2；
（3）∵a＞0，
∴g（x）=ax+b在[-1，1]上為單調(diào)增函數(shù)，
當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得最大值為2，
即g（x）=a+b=f（1）-f（0）=2，①
∵-1≤f（0）=f（1）-2≤1-2=-1，
∴c=f（0）=-1，
∵當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，f（x）≥-1，
∴f（x）≥f（0）
∴直線x=0是二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，
∴-

b

2a

=0，
∴b=0，
結(jié)合①得
a=2，
∴f（x）=2x²-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、含有絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，以及綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．具體涉及到二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性是藥引，而絕對(duì)值不等式的性質(zhì)靈活運(yùn)用是本題的靈魂．本題綜合性較強(qiáng)，其解答的關(guān)鍵是對(duì)函數(shù)f（x）的單調(diào)性的深刻理解，以及對(duì)條件“-1≤x≤1時(shí)|f（x）|≤1”的運(yùn)用；絕對(duì)值不等式的性質(zhì)使用不當(dāng)，會(huì)使解題過(guò)程空洞，缺乏嚴(yán)密，從而使題目陷于僵局．