Question

19．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足：S_n=$\frac{{a}_{n}}{2}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$-1且a_n＞0，n∈N₊．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）猜想{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列{a_n}的遞推公式依次求出a₁，a₂，a₃；
（2）根據(jù)a₁，a₂，a₃值的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)猜想{a_n}的通項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納法①驗(yàn)證n=1成立，②假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．

解答 解：（1）∵a₁=S₁=$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{1}{{a}_{1}}$-1，
∴a₁=-1±$\sqrt{3}$．
又∵a_n＞0，
∴a₁=$\sqrt{3}$-1．
S₂=a₁+a₂=$\frac{{a}_{2}}{2}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$-1，
∴a₂=$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$．
S₃=a₁+a₂+a₃=$\frac{{a}_{3}}{2}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$-1，
∴a₃=$\sqrt{7}$-$\sqrt{5}$．
（2）由（1）猜想an=$\sqrt{2n+1}$-$\sqrt{2n-1}$，n∈N+．
下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，由（1）知a₁=$\sqrt{3}$-1成立．
②假設(shè)n=k（k∈N+）時(shí)，a_k=$\sqrt{2k+1}$-$\sqrt{2k-1}$成立．
當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=S_k+1-S_k=（$\frac{{a}_{k+1}}{2}$+$\frac{1}{{a}_{k+1}}$-1）-（$\frac{{a}_{k}}{2}$+$\frac{1}{{a}_{k}}$-1）=$\frac{{a}_{k+1}}{2}$+$\frac{1}{{a}_{k+1}}$-$\sqrt{2k+1}$，
∴a_k+1²+2$\sqrt{2k+1}$a_k+1-2=0
∴a_k+1=$\sqrt{2（k+1）+1}$-$\sqrt{2（k+1）-1}$，
即當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立．
綜上可知，猜想對一切n∈N+都成立．

點(diǎn)評 本題是中檔題，考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題的方法，考查邏輯推理能力，計(jì)算能力．注意在證明n=k+1時(shí)用上假設(shè)，化為n=k的形式．