Question

11．（1）如果a，b都是正數(shù)，且a≠b，求證：$\frac{a}{{\sqrt}}$+$\frac{{\sqrt{a}}}$＞$\sqrt{a}$+$\sqrt$
（2）設(shè)x＞-1，m∈N^*，用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1+x）^m≥1+mx．

Answer 1

分析 （1）方法一，用綜合法，即利用作差法；方法二，分析法，兩邊平方法；
（2）要證明當(dāng)x＞-1時(shí)，（1+x）^m≥1+mx，我們要先證明m=1時(shí)，（1+x）^m≥1+mx成立，再假設(shè)m=k時(shí)，（1+x）^m≥1+mx成立，進(jìn)而證明出m=k+1時(shí)，（1+x）^m≥1+mx也成立，即可得到對(duì)于任意正整數(shù)m：當(dāng)x＞-1時(shí)，（1+x）^m≥1+mx．

解答 （1）證明　方法一　用綜合法
$\frac{a}{\sqrt}$+$\frac{\sqrt{a}}$-$\sqrt{a}$-$\sqrt$=$\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt-a\sqrt-b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}$
=$\frac{（a-b）（\sqrt{a}-\sqrt）}{\sqrt{ab}}$=$\frac{（\sqrt{a}-\sqrt）2（\sqrt{a}+\sqrt）}{\sqrt{ab}}$＞0，
所以$\frac{a}{\sqrt}$+$\frac{\sqrt{a}}$＞$\sqrt{a}$+$\sqrt$．
方法二　用分析法
要證$\frac{a}{\sqrt}$+$\frac{\sqrt{a}}$＞$\sqrt{a}$+$\sqrt$，
只要證$\frac{a2}$+$\frac{b2}{a}$+2$\sqrt{ab}$＞a+b+2$\sqrt{ab}$，
即要證a³+b³＞a²b+ab²，
只需證（a+b）（a²-ab+b²）＞ab（a+b），
即需證a²-ab+b²＞ab，
只需證（a-b）²＞0，
因?yàn)閍≠b，所以（a-b）²＞0恒成立，
所以$\frac{a}{\sqrt}$+$\frac{\sqrt{a}}$＞$\sqrt{a}$+$\sqrt$成立．
（2）證明①當(dāng)m=1時(shí)，原不等式成立；
當(dāng)m=2時(shí)，左邊=1+2x+x²，右邊=1+2x，
因?yàn)閤²≥0，所以左邊≥右邊，原不等式成立；
②假設(shè)當(dāng)m=k（k≥1，k∈N^*）時(shí)，不等式成立，
即（1+x）^k≥1+kx，則當(dāng)m=k+1時(shí)，
因?yàn)閤＞-1，所以1+x＞0．
于是在不等式（1+x）^k≥1+kx兩邊同時(shí)乘以1+x得
（1+x）^k•（1+x）≥（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx²
≥1+（k+1）x．
所以（1+x）^k+1≥1+（k+1）x，
即當(dāng)m=k+1時(shí)，不等式也成立．
綜合①②知，對(duì)一切正整數(shù)m，不等式都成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了綜合法和分析法以及數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立的問(wèn)題，掌握這些方法的步驟是關(guān)鍵，屬于中檔題．