Question

已知函數f(x)=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數，且f(

1

2

)=

2

5

．
（1）試求出函數f（x）的解析式；
（2）證明函數在定義域內是單調增函數．

Answer 1

分析：（1）根據函數f(x)=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數，可得f（0）=0，結合f(

1

2

)=

2

5

，可求出a，b值，進而得到函數f（x）的解析式；
（2）直接利用函數單調性的定義進行證明，設在（-1，1）上任取兩個數x₁，x₂，且x₁＞x₂，然后判定f（x₁）-f（x₂）的符號，從而得到結論．

解答：解：（1）∵函數f(x)=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數，
∴f（0）=0，即b=0
又∵f(

1

2

)=

2

5

，∴

a 2

1+ 1 4

=

2

5

，解得a=1
∴f(x)=

x

1+x2

．
（2）任取任取兩個數x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=

(x1-x2)(1-x1•x2)

(1+x12)(1+x22)

＜0
因為x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，1+x12＞0，1+x22＞0，1-x₁•x₂＞0
則f（x₁）＜f（x₂）
故函數f(x)=

ax+b

1+x2

在（-1，1）上單調遞增

點評：本題主要考查了函數奇偶性的性質，函數單調性的證明，解題的關鍵是化簡判定符號，同時考查了運算求解的能力，屬于基礎題．